Logistisk vekst · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Slipp noen gjærceller ned i en kolbe med sukkerløsning. Først er det rikelig med mat og plass. Men hva skjer etter hvert, når det blir trangt og maten tar slutt?

Punktene er ekte målinger av gjærmengden i en kultur, time for time. Dataene ble publisert av T. Carlson i 1913. Se først på punktene, og prøv så modellene.

time 9

Modell (

t

= time):

f(t) = 28{,}47 \cdot e^{0{,}2239t}

Den deriverte:

f'(t) = 6{,}373 \cdot e^{0{,}2239t}

I time 9: modellen gir 213,5, og vekstfarten er 47,8 per time.

Forklaringsgrad

R^2 = −0{,}3421

. Jo nærmere 1, jo bedre passer modellen til dataene, men sjekk alltid om modellen gir mening utenfor dataene.

Data (time og gjærmengde, én linje per punkt)

Lim gjerne inn egne målinger.

Prøv dette:

Beskriv formen på punktene med egne ord. Hva skjer i starten, i midten og på slutten?
Når vokste gjæren raskest? Hvor mye økte den da per time?
Velg eksponentiell modell. Når begynner den å bomme? Hvorfor?
Velg logistisk modell. Hvilket tall nærmer gjærmengden seg?

Forklaring

Den logistiske modellen

Gjæren vokste nesten eksponentielt i starten. Etter hvert ble det trangt, maten tok slutt og avfallsstoffene hopet seg opp. Veksten bremset, og til slutt flatet mengden ut rundt 660. Grafen blir formet som en S: sakte start, rask vekst i midten og metning til slutt. Dette kalles logistisk vekst, og det beskriver alt fra bakterier og dyrebestander til spredning av sykdommer, nye teknologier og rykter.

N(t) = \frac{K}{1 + a e^{-bt}}

$K$ er bæreevnen, den øvre grensen. Når $t \to \infty$ , går $e^{-bt} \to 0$ , så $N(t) \to K$ . Linja $y = K$ er en horisontal asymptote.
$N(0) = \dfrac{K}{1 + a}$ . Jo større $a$ , jo mindre startverdi.
$b$ bestemmer hvor bratt S-kurven er.

Vendepunktet

Logistisk vekst har ett vendepunkt, og det ligger alltid midt mellom 0 og K:

N = \frac{K}{2} \quad \text{når} \quad t = \frac{\ln a}{b}

I vendepunktet er vekstfarten størst:

N'_{\text{maks}} = \frac{K \cdot b}{4}

Før vendepunktet vokser veksten ( $N'' > 0$ ), etter vendepunktet avtar den ( $N'' < 0$ ).

Modell: Form S-kurven

Endre $K$ , $a$ og $b$ . Den oransje grafen er vekstfarten $N'(t)$ . Legg merke til at toppen av den oransje grafen alltid ligger rett under vendepunktet.

N(t)

N'(t)

K

150

a

30

b

0,6

N(0) = 4{,}8

, bæreevne

K = 150

Vendepunkt ved

t = 5{,}67

, største vekstfart

\frac{Kb}{4} = 22{,}5

Sammenligning med eksponentiell vekst

Helt i starten, når $N$ er liten sammenlignet med $K$ , ligner logistisk vekst på eksponentiell vekst. Forskjellen blir tydelig først når bestanden nærmer seg bæreevnen.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Les av modellen

En bestand er $N(t) = \dfrac{1000}{1 + 49e^{-0{,}5t}}$ , der $t$ er år. Finn startverdien, bæreevnen, vendepunktet og den største vekstfarten.

Startverdi:

N(0) = \dfrac{1000}{1 + 49} = 20

.

Bæreevne:

K = 1000

.

Vendepunkt:

t = \dfrac{\ln 49}{0{,}5} \approx 7{,}78

år, da er

N = 500

.

Største vekstfart:

\dfrac{1000 \cdot 0{,}5}{4} = 125

individer per år.

Eksempel 2: Tolk gjærmodellen

Regresjonen gir omtrent $N(t) = \dfrac{664}{1 + 67e^{-0{,}539t}}$ . Tolk modellen.

Bæreevnen er omtrent 664. Kulturen kan ikke vokse mer enn det med den maten og plassen som finnes.

Vendepunktet er ved

t = \dfrac{\ln 67}{0{,}539} \approx 7{,}8

timer. Da var veksten raskest.

Største vekstfart er

\dfrac{664 \cdot 0{,}539}{4} \approx 89

enheter per time.

Eksempel 3: Når er bestanden 900?

Med $N(t) = \dfrac{1000}{1 + 49e^{-0{,}5t}}$ : Når er $N(t) = 900$ ?

1 + 49e^{-0{,}5t} = \dfrac{1000}{900} = \dfrac{10}{9}

, så

49e^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{9}

.

e^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{441}