Eksponentiell vekst · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

I et bakterieforsøk telles bakteriene (i tusen) hver time. Hvordan vokser de? Like mye hver time, eller fortere og fortere?

Se først på tallene. Velg så en modell.

time 4

Modell (

t

= time):

f(t) = 2{,}105 \cdot e^{0{,}3592t}

Den deriverte:

f'(t) = 0{,}7561 \cdot e^{0{,}3592t}

I time 4: modellen gir 8,855 tusen, og vekstfarten er 3,18 tusen per time.

Forklaringsgrad

R^2 = 0{,}9999

. Jo nærmere 1, jo bedre passer modellen til dataene, men sjekk alltid om modellen gir mening utenfor dataene.

Data (time og bakterier (tusen), én linje per punkt)

Lim gjerne inn egne målinger.

Prøv dette:

Hvor mye øker antallet den første timen? Den siste? Er økningen den samme?
Del hver verdi på den forrige: 3,02,1, 4,43,0, … Hva legger du merke til?
Hvor lang tid tar det før antallet er doblet? Er det like lang tid uansett når du begynner å måle?
Sammenlign med lineær og andregradsmodell. Hvilken passer best?

Forklaring

To skrivemåter

Bakteriene økte ikke med et fast antall, men med en fast andel: Forholdet mellom to naboverdier var hele tiden omtrent $1{,}45$ . Jo flere bakterier, jo raskere vokser de. Ifølge en gammel fortelling ba oppfinneren av sjakk kongen om ett riskorn på første rute, to på andre, fire på tredje og så videre. På den siste ruten skulle det ligge $2^{63} \approx 9{,}2 \cdot 10^{18}$ riskorn, flere hundre ganger så mye ris som hele verden produserer på et år. Det er eksponentiell vekst.

N(t) = N_0 \cdot b^t \qquad \text{eller} \qquad N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

$N_0$ er startverdien, $N(0)$ .
$b$ er vekstfaktoren. Øker noe med $p$ % per tidsenhet, er $b = 1 + \frac{p}{100}$ . Minker det, er $b = 1 - \frac{p}{100}$ .
De to formene henger sammen via $b = e^k$ , altså $k = \ln b$ .

Vekstfarten er proporsjonal med størrelsen

Deriverer vi, får vi

N'(t) = k \cdot N_0 e^{kt} = k \cdot N(t)

Dette er selve kjennetegnet på eksponentiell vekst: Vekstfarten er alltid $k$ ganger størrelsen. Dobbelt så mange bakterier gir dobbelt så rask vekst.

Doblingstid og halveringstid

Tiden det tar å doble seg, doblingstiden, finner vi fra $e^{kT} = 2$ :

T_2 = \frac{\ln 2}{k}

For nedgang ( $k < 0$ ) blir halveringstiden $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$ . Doblingstiden er den samme uansett når vi starter å måle.

Modell: Vekst og doblingstid

Endre startverdien og vekstprosenten. Legg merke til at doblingstiden bare avhenger av prosenten, ikke av startverdien.

N(t) = N_0 \cdot (1 + p/100)^t

N_0

20

p

20

Vekstfaktor:

b = 1{,}2

,

k = \ln b = 0{,}1823

Doblingstid (eller halveringstid):

3{,}8

tidsenheter

Kjenne igjen eksponentielle data

I lineære data er differansen mellom to påfølgende verdier konstant. I eksponentielle data er forholdet konstant. Er verdiene 3, 6, 12, 24, er forholdet hele tiden 2.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Sparing

Du setter inn 50 000 kr med 4 % rente per år. Hvor lang tid tar det før beløpet er doblet?

K(t) = 50\,000 \cdot 1{,}04^t

. Vi løser

1{,}04^t = 2

.

t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7

år. (72-regelen gir 724=18.)

Eksempel 2: Karbon-14-datering

Karbon-14 har halveringstid 5730 år. Et bein inneholder 30 % av den opprinnelige mengden karbon-14. Hvor gammelt er beinet?

N(t) = N_0 e^{kt}

med

k = -\dfrac{\ln 2}{5730} \approx -0{,}000121

.

e^{kt} = 0{,}30

gir

t = \dfrac{\ln 0{,}30}{k} = \dfrac{\ln 0{,}30 \cdot 5730}{-\ln 2} \approx 9950

år.

Eksempel 3: Vekstfart

En bakteriekultur er $N(t) = 200e^{0{,}35t}$ , der $t$ er timer. Hvor fort vokser den etter 4 timer?

N'(t) = 0{,}35 \cdot 200e^{0{,}35t} = 0{,}35 \cdot N(t)

.

N(4) = 200e^{1{,}4} \approx 811

, så

N'(4) \approx 0{,}35 \cdot 811 \approx 284

bakterier per time.

Vanlige feil

Å bruke $p$ i stedet for vekstfaktoren. 4 % vekst gir $1{,}04^t$ , ikke $0{,}04^t$ eller $4^t$ .
Nedgang med feil faktor. 15 % nedgang gir $0{,}85$ , ikke $-0{,}15$ eller $1{,}15$ .
Å blande $b$ og $k$ . $1{,}05^t = e^{kt}$ med $k = \ln 1{,}05 \approx 0{,}0488$ , ikke $k = 0{,}05$ (selv om det er nesten likt for små prosenter).
Å tro at eksponentiell vekst varer evig. I virkeligheten begrenser mat, plass eller ressurser veksten. Da passer logistisk vekst bedre.

Huskelapp

$N(t) = N_0 \cdot b^t = N_0 e^{kt}$ , med $b = 1 \pm \frac{p}{100}$ og $k = \ln b$ .
$N'(t) = k \cdot N(t)$ : vekstfarten er proporsjonal med størrelsen.
Doblingstid $T_2 = \frac{\ln 2}{k}$ , halveringstid $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$ .
Eksponentielle data: konstant forhold mellom påfølgende verdier.