Eksponentielle modeller · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Tuva starter en konto på sosiale medier. Hun har 5200 følgere, og antallet øker med omtrent 35 % hver måned. Hvor mange følgere har hun etter ti måneder?

De blå stolpene viser følgerne måned for måned. De oransje viser hva som ville skjedd hvis hun fikk like mange nye følgere hver måned som den første måneden.

samme prosent hver gang samme endring hver gang

Start 5 200Prosent per måned 35Antall måneder 10

Etter 10 måneder: 104 554 følgere.

Endring første måned: 1 820 følgere. Endring siste måned: 27 107 følgere.

Med samme endring hver gang (1 820 følgere) ville det blitt 23 400 følgere.

Prøv dette:

Gjett først: Hvor mange følgere har Tuva etter 10 måneder? Sjekk.
Hvor mange nye følgere får hun den første måneden? Og den tiende? Hvorfor er det så stor forskjell når prosenten er den samme hver måned?
Når går de blå stolpene forbi de oransje? Blir forskjellen større eller mindre etter hvert?
Sett prosenten til $-10$ . Etter hvor mange måneder er omtrent halvparten av følgerne borte?

Forklaring

Steg 1: Modellen $f(x) = a \cdot b^x$

En økning på $35\ \%$ betyr at vi ganger med vekstfaktoren $1{,}35$ hver måned:

Måned	Utregning	Følgere
0	$5200$	$5200$
1	$5200 \cdot 1{,}35$	$7020$
2	$5200 \cdot 1{,}35 \cdot 1{,}35 = 5200 \cdot 1{,}35^2$	$9477$
3	$5200 \cdot 1{,}35^3$	$12\,794$
$x$	$5200 \cdot 1{,}35^x$

Hver måned kommer det flere nye følgere enn måneden før, fordi $35\ \%$ av et større tall er et større tall. Etter $x$ måneder har vi ganget med $1{,}35$ hele $x$ ganger:

f(x) = 5200 \cdot 1{,}35^x

Slike modeller kalles eksponentielle, fordi variabelen $x$ står i eksponenten. En eksponentiell modell har to tall:

$a$ er startverdien, verdien når $x = 0$ .
$b$ er vekstfaktoren per tidsenhet (per år, per måned, per time).

Er $b > 1$ , vokser verdien. Er $b < 1$ , minker den. En bedrift som slipper ut 200 tonn CO₂ i 2025 og kutter $2{,}5\ \%$ per år, har modellen $U(x) = 200 \cdot 0{,}975^x$ , der $x$ er antall år etter 2025.

Steg 2: Lineær eller eksponentiell?

I stolpediagrammet øverst vokste de oransje stolpene med like mye hver måned (lineært), mens de blå vokste med like mange prosent (eksponentielt). Se på hvordan tallene endrer seg fra én periode til den neste:

	Lineær vekst	Eksponentiell vekst
Hver periode	legger til samme tall	ganger med samme tall
Konstant	differansen	forholdet (vekstfaktoren)
Modell	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Graf	rett linje	kurve som bøyer oppover (eller flater ut mot 0)

Test en tabell ved å regne ut forholdet mellom to naboverdier. Er forholdet omtrent det samme hele veien, passer en eksponentiell modell.

Steg 3: Finn vekstfaktoren fra to målinger

Øker noe fra 30 000 til 42 431 på 5 år, hvilket tall har vi ganget med hvert år? Vi kaller det $b$ . Vi har ganget med $b$ fem ganger:

30\,000 \cdot b^5 = 42\,431 \quad\Longrightarrow\quad b^5 = \frac{42\,431}{30\,000} \quad\Longrightarrow\quad b = \left(\frac{42\,431}{30\,000}\right)^{1/5} \approx 1{,}0718

Veksten er omtrent $7{,}2\ \%$ per år. Uten femterot kan du prøve deg fram: $1{,}07^5 \approx 1{,}40$ og $1{,}08^5 \approx 1{,}47$ . Svaret ligger nær $7\ \%$ .

Steg 4: Doblingstid og halveringstid

Med $5\ \%$ rente per år blir 1000 kr til $1000 \cdot 1{,}05^{14} \approx 1980$ kr etter 14 år og $1000 \cdot 1{,}05^{15} \approx 2079$ kr etter 15 år. Pengene er doblet etter litt over 14 år. Det samme gjelder 10 000 kr eller 1 million: Prøv selv.

Doblingstiden er tiden det tar før verdien er doblet, altså når $b^x = 2$ . Ved nedgang kaller vi det halveringstiden, tiden før halvparten er igjen ( $b^x = 0{,}5$ ).

Du kan finne den på tre måter:

Graf: Tegn $y = a \cdot b^x$ og $y = 2a$ (eller $0{,}5a$ ), og finn skjæringspunktet.
Prøving: Regn ut $b^1, b^2, b^3, \ldots$ til du passerer 2 (eller 0,5).
Program: La en løkke gange med $b$ til verdien passerer grensen.

Doblingstiden avhenger bare av $b$ , ikke av startverdien. En tommelfingerregel: Doblingstiden er omtrent 70p perioder når veksten er $p\ \%$ . Med $5\ \%$ rente dobles pengene på rundt 14 år.

Modell: Startverdi og vekstfaktor

Endre $a$ og $b$ . Den stiplede linja er $y = 2a$ (eller $y = \frac{a}{2}$ ved nedgang). Der grafen krysser den, har verdien doblet (halvert) seg.

f(x) = a \cdot b^x

y = 2a \text{ eller } \frac{a}{2}

a

5

b

1,2

f(x) = 5 \cdot 1{,}2^x

Endring per periode:

20\ \%

Tid til verdien er doblet eller halvert:

x \approx 3{,}8

perioder

Prøv dette:

Endre $a$ . Hvorfor endrer ikke doblingstiden seg?
Sett $b = 1$ . Hva skjer, og hvorfor?
Finn den vekstfaktoren som gir doblingstid 5. Stemmer 70-regelen?

Modell: Halveringstid med et program

Et legemiddel brytes ned slik at $12\ \%$ forsvinner hver time. Programmet ganger med $0{,}88$ til under halvparten er igjen.

PythonHalveringstid

Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Prøv dette: Programmet sier 6 timer. Den eksakte halveringstiden er omtrent 5,4 timer. Hvorfor gir programmet et helt tall? Endre programmet så det finner når bare $10\ \%$ er igjen.

Steg 5: Regresjon og gyldighet

Ekte data følger sjelden en modell nøyaktig. Da lar vi et digitalt verktøy finne den eksponentielle modellen som passer best, med eksponentiell regresjon (i GeoGebra: RegEksp). Tolk så $a$ og $b$ , og vurder hvor lenge modellen gjelder. Ingen konto kan vokse med 35 % i måneden for alltid. Da ville hele jordas befolkning fulgt Tuva etter et par år.

Modell: Eksponentiell regresjon

Tallene under er tenkte tall for følgerne til Tuva, måned for måned. Velg «Eksponentiell» og se hvilken modell som passer. Du kan endre tallene selv.

måned 3

Modell (

t

= måned):

f(t) = 5215 \cdot 1{,}351^{t}

Vekstfaktoren

1{,}351

betyr en endring på 35,1 % per måned.

I måned 3: modellen gir 12870.

Forklaringsgrad

R^2 = 0{,}9999

. Jo nærmere 1, jo bedre passer modellen til dataene, men sjekk alltid om modellen gir mening utenfor dataene.

Data (måned og følgere, én linje per punkt)

Lim gjerne inn egne målinger.

Prøv dette: Sammenlign den lineære og den eksponentielle modellen. Hvilken passer best? Hva spår hver av dem om 12 måneder?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Tolk modellen

En bedrift regner med at CO₂-utslippet blir $U(x) = 200 \cdot 0{,}975^x$ tonn, $x$ år etter 2025. Hva betyr tallene?

200

: I 2025 (

x = 0

) slipper bedriften ut 200 tonn.

0{,}975

: Hvert år ganges utslippet med

0{,}975

. Det er en nedgang på

2{,}5\ \%

per år.

I 2029 (

x = 4

):

U(4) = 200 \cdot 0{,}975^4 \approx 181

tonn.

Eksempel 2: Finn den årlige veksten

Innbyggertallet i en by økte fra 30 000 til 42 431 på 5 år. Hvor mange prosent økte det per år, hvis økningen var like stor prosentvis hvert år?

30\,000 \cdot b^5 = 42\,431

, så

b^5 = 1{,}41437

.

b = 1{,}41437^{1/5} \approx 1{,}0718

. (I GeoGebra: løs likningen med CAS.)

Innbyggertallet økte med omtrent

7{,}2\ \%

per år.

Eksempel 3: Når passeres grensen?

En bedrift regner med å selge $F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x$ flasker iste i måned $x$ . Når selger de mer enn 2000 flasker i løpet av en måned?

Løs

620 \cdot 1{,}045^x = 2000

grafisk: Tegn

F

og

y = 2000

, og finn skjæringspunktet.

Skjæringspunktet er

x \approx 26{,}6

.

Kontroll:

F(26) \approx 1947

og

F(27) \approx 2035

. Salget passerer 2000 i måned 27.

Eksempel 4: Lineær eller eksponentiell?

Et antall er 200, 240, 288 og 345,6 i fire påfølgende år. Hvilken modell passer?

Differansene: 40, 48, 57,6. De er ikke like, så modellen er ikke lineær.

Forholdene: 240200=1,2, 288240=1,2 og 345,6288=1,2. Like!

Modellen er

f(x) = 200 \cdot 1{,}2^x

, en vekst på

20\ \%

per år.

Vanlige feil

Å bytte om $a$ og $b$ . I $f(x) = a \cdot b^x$ er $a$ startverdien og $b$ vekstfaktoren. $b$ er tallet som opphøyes.
Å skrive prosenten i stedet for vekstfaktoren. $7\ \%$ vekst gir $b = 1{,}07$ , ikke $b = 7$ eller $b = 0{,}07$ .
Å dele på antall år. $\frac{41\ \%}{5} = 8{,}2\ \%$ per år er feil. Bruk femteroten (eller prøving).
Å tro modellen gjelder for alltid. Vurder alltid gyldigheten. Eksponentiell vekst kan ikke fortsette i det uendelige.

Huskelapp

$f(x) = a \cdot b^x$ : $a$ = startverdi, $b$ = vekstfaktor.
$b > 1$ : vekst med $(b - 1) \cdot 100\ \%$ . $b < 1$ : nedgang med $(1 - b) \cdot 100\ \%$ .
Lineær: samme differanse. Eksponentiell: samme forhold.
Fra to målinger: $b = \left(\frac{\text{slutt}}{\text{start}}\right)^{1/n}$ .
Doblingstid: $b^x = 2$ . Halveringstid: $b^x = 0{,}5$ . Omtrent 70p.
Regresjon: la verktøyet finne $a$ og $b$ , og vurder gyldigheten.

Start her: utforsk

Forklaring

Steg 1: Modellen f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^xf(x)=a⋅bx

Steg 2: Lineær eller eksponentiell?

Steg 3: Finn vekstfaktoren fra to målinger

Steg 4: Doblingstid og halveringstid

Modell: Startverdi og vekstfaktor

Modell: Halveringstid med et program

Steg 5: Regresjon og gyldighet

Modell: Eksponentiell regresjon

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv

Steg 1: Modellen $f(x) = a \cdot b^x$