Flere endringer og baklengs regning

Utforsk

Start her: utforsk

En butikk setter opp prisen på en genser med 20 %. Salget går dårlig, så en måned senere setter de ned prisen med 20 %. Er prisen tilbake der den startet?

Stolpene viser prisen før og etter hver endring. Den stiplede linja er startprisen, 100 kr.

Endring 1 (%) +20Endring 2 (%) −20

100 kr → 120 kr → 96 kr

Samlet endring: −4 kr, altså −4 % av startverdien. Summen av prosentene er 0 %.

Prøv dette:

Gjett først: Er genseren tilbake på 100 kr etter $+20\ \%$ og $-20\ \%$ ? Se på stolpene.
Trykk «Bytt rekkefølge», så prisen først går ned og så opp. Blir svaret et annet?
Prisen har gått opp $20\ \%$ . Hvor mange prosent må den ned for å komme nøyaktig tilbake til 100 kr? Prøv deg fram.
Lag tre økninger på $10\ \%$ . Blir det $30\ \%$ til sammen?

Forklaring

Steg 1: Flere endringer etter hverandre

Følg genseren trinn for trinn:

Etter økningen koster den $100 \cdot 1{,}20 = 120$ kr.
Så trekkes $20\ \%$ fra, men nå er det $20\ \%$ av 120 kr, altså 24 kr. Genseren koster $120 \cdot 0{,}80 = 96$ kr.

Den andre endringen regnes av en ny grunnverdi. Derfor kan vi ikke bare legge sammen prosentene. Skriver vi alt i én utregning, ser vi at vi ganger vekstfaktorene:

100 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 100 \cdot 0{,}96 = 96

Samlet vekstfaktor er $0{,}96$ , altså $4\ \%$ lavere enn i starten. Rekkefølgen spiller ingen rolle, fordi $1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}80 \cdot 1{,}20$ . Generelt:

\text{ny verdi} = \text{startverdi} \cdot v_1 \cdot v_2 \cdot v_3 \cdots

Modell: Kjeden med vekstfaktorer

Samme modell som øverst, men nå med vekstfaktorene.

Endring 1 (%) +20Endring 2 (%) −20

100 kr → 120 kr → 96 kr

100 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 96\text{ kr}

Samlet vekstfaktor:

1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96

, altså

−4\ \%

.

Steg 2: Samme endring mange ganger

Setter du 20 000 kr i banken med $5\ \%$ rente per år, ganger du med $1{,}05$ hvert år:

Etter 1 år: $20\,000 \cdot 1{,}05 = 21\,000$ kr.
Etter 2 år: $20\,000 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 20\,000 \cdot 1{,}05^2 = 22\,050$ kr.
Etter 10 år: $20\,000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 32\,578$ kr.

Dette er renters rente: Renta gir rente, så beløpet vokser raskere og raskere. Det kalles eksponentiell vekst. Vokser noe med samme prosent hver periode, er

\text{verdi etter } n \text{ perioder} = \text{startverdi} \cdot \text{vekstfaktor}^n

Modell: Renters rente mot fast beløp

Blå stolper vokser med samme prosent hvert år. Oransje stolper vokser med samme beløp hvert år (like mye som den første renta). Hvor fort skiller de lag?

samme prosent hver gang samme endring hver gang

Start 20 000Prosent per år 5Antall år 20

Etter 20 år:

20\,000 \cdot 1{,}05^{20} = 53\,065{,}95\text{ kr}

Samlet endring:

1{,}05^{20} = 2{,}653

, altså

165{,}3\ \%

. (Ikke

20 \cdot 5\ \% = 100\ \%

!)

Samme beløp hver gang (1 000 kr) gir

40\,000\text{ kr}

. Forskjell:

13\,065{,}95\text{ kr}

Prøv dette:

Forutsi: Etter hvor mange år har beløpet doblet seg med $5\ \%$ rente? Sjekk. (Tommelfingerregel: $70 : \text{renten}$ .)
Sett prosenten til $-10$ . Hvor mye er igjen etter 10 år? Hvorfor blir det ikke 0?
Hvorfor er de to første stolpeparene like høye?

Steg 3: Baklengs regning

En vare koster 750 kr med moms. Hva kostet den uten moms? Prisen uten moms ble ganget med $1{,}25$ for å bli 750. Da går vi baklengs ved å dele:

\frac{750}{1{,}25} = 600 \text{ kr}

Sjekk: $600 \cdot 1{,}25 = 750$ . Kjenner du verdien etter endringen og vil finne verdien før, deler du altså på vekstfaktoren:

\text{verdi før} = \frac{\text{verdi etter}}{\text{vekstfaktor}}

Modell: Baklengs på tallinja

Her er den nye verdien kjent. Pila går baklengs, og vi deler på vekstfaktoren. Under ser du hva som skjer hvis du bruker feil metode.

Ny verdi 750Endring (%) 25

Vekstfaktor:

1{,}25

. Den nye verdien er

125\ \%

av den opprinnelige.

Opprinnelig verdi:

\dfrac{750}{1{,}25} = 600\text{ kr}

Feil metode:

750 - 25\ \% \cdot 750 = 562{,}5\text{ kr}

(prosenten regnes da av feil grunnverdi)

Prøv dette: Sett endringen til $-30\ \%$ og den nye verdien til 560 kr. Hva kostet varen før rabatten?

Steg 4: Tilbake i tid

Det står 105 607 kr på en konto med $3{,}25\ \%$ rente. Hvert år er beløpet ganget med $1{,}0325$ . Går vi fem år tilbake, må vi dele fem ganger:

\frac{105\,607}{1{,}0325^5} \approx 90\,000 \text{ kr}

Generelt var verdien for $n$ perioder siden

\frac{\text{verdi nå}}{\text{vekstfaktor}^n} = \text{verdi nå} \cdot \text{vekstfaktor}^{-n}

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Opp 20 %, ned 20 %

En pris øker med $20\ \%$ og synker deretter med $20\ \%$ . Hvor mange prosent har prisen endret seg samlet?

Samlet vekstfaktor:

1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96

.

0{,}96 - 1 = -0{,}04

. Prisen er

4\ \%

lavere enn i starten.

Eksempel 2: To prisøkninger

Prisen på en vare økte med $25\ \%$ i fjor og med $15\ \%$ i år. Hvor mye har den økt til sammen?

1{,}25 \cdot 1{,}15 = 1{,}4375

.

Prisen har økt med

43{,}75\ \%

, ikke

40\ \%

.

Eksempel 3: Fram og tilbake i tid

Det står 105 607 kr på en konto med $3{,}25\ \%$ rente per år. Hvor mye står det om fem år, og hvor mye stod det for fem år siden?

Om fem år:

105\,607 \cdot 1{,}0325^5 \approx 123\,920

kr.

For fem år siden:

\dfrac{105\,607}{1{,}0325^5} \approx 90\,000

kr.

Eksempel 4: Prisen før rabatt

Etter $30\ \%$ rabatt koster en jakke 560 kr. Hva kostet den før?

Vekstfaktor for

30\ \%

nedgang:

0{,}70

.

Pris før: 5600,70=800 kr.

Kontroll:

800 \cdot 0{,}70 = 560

. Stemmer.

Eksempel 5: Med bokstaver

En pris $x$ øker med $p\ \%$ og synker så med $p\ \%$ . Vis at sluttprisen alltid er lavere enn $x$ (for $p > 0$ ).

Sluttprisen er

x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{p}{100}\right)

.

Konjugatsetningen:

\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{p}{100}\right) = 1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2

.

\left(\frac{p}{100}\right)^2 > 0

, så den samlede vekstfaktoren er mindre enn 1. Med

p = 20

:

1 - 0{,}04 = 0{,}96

, som genseren.

Vanlige feil

Å legge sammen prosentene. $+20\ \%$ og $-20\ \%$ er ikke $0\ \%$ . Gang vekstfaktorene.
$n \cdot p\ \%$ i stedet for $\text{vekstfaktor}^n$ . Renters rente gir mer enn $n$ ganger renta.
Baklengs med feil grunnverdi. Pris uten moms er $\frac{\text{pris med moms}}{1{,}25}$ , ikke $75\ \%$ av prisen med moms.
Feil fortegn i eksponenten. For $n$ år siden: del på $\text{vekstfaktor}^n$ (eller gang med $\text{vekstfaktor}^{-n}$ ).

Huskelapp

Flere endringer: gang vekstfaktorene, $v_1 \cdot v_2 \cdot v_3$ .
Samme endring $n$ ganger: $\text{start} \cdot \text{vekstfaktor}^n$ .
Samlet endring: $(\text{samlet vekstfaktor} - 1) \cdot 100\ \%$ .
Baklengs: $\text{før} = \dfrac{\text{etter}}{\text{vekstfaktor}}$ .
$n$ perioder siden: $\dfrac{\text{nå}}{\text{vekstfaktor}^n}$ .