Den deriverte av en omvendt funksjon

Speiler du grafen om y = x, blir stigningstallet omvendt. Slik finner vi den deriverte av ln x, √x og andre omvendte funksjoner.

R1
Fint å kunne først: Omvendte funksjonerKjerneregelen
Utforsk

Start her: utforsk

Den blå linja er speilet om den stiplede linja y=xy = x. Speilbildet er oransje. Hvor bratt blir speilbildet?

Endre hvor bratt den blå linja er.

−4−3−2−1123456−4−3−2−1123456
linjaspeilbildetspeilet (y=xy = x)
Den blå linja går 2 opp for hvert steg bortover.
Speilbildet går 0,5 opp for hvert steg bortover.

Prøv dette:

  1. Når den blå linja har stigning 2, hva er stigningen til speilbildet? Prøv også 4 og 0,5.
  2. Hvorfor? Tenk på hva som skjer med «opp» og «bortover» når du speiler om y=xy = x.
  3. Når er linja og speilbildet like bratte?
Forklaring

Forklaring

Regelen

En linje med stigningstall 2 går 2 opp for hvert steg bortover. Speiler du den om y=xy = x, bytter «opp» og «bortover» plass. Nå går den 1 opp for hvert 2. steg bortover. Stigningstallet er blitt 12. Det samme skjer med tangenter: Når grafen speiles, speiles tangenten også, og stigningstallet blir det omvendte tallet.

La ff være deriverbar og én-entydig, og la b=f(a)b = f(a). Da er

(f−1)′(b)=1f′(a)na˚r f′(a)≠0\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} \qquad \text{når } f'(a) \neq 0

Med ord: Stigningstallet til den omvendte funksjonen i punktet (b,a)(b, a) er det omvendte av stigningstallet til ff i punktet (a,b)(a, b).

Hvorfor?

Vi vet at f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x. Deriverer vi begge sider med kjerneregelen:

f′(f−1(x))⋅(f−1)′(x)=1⇒(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))f'\big(f^{-1}(x)\big) \cdot \left(f^{-1}\right)'(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad \left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}

Den deriverte av ln x

ln⁡x\ln x er den omvendte funksjonen til f(x)=exf(x) = e^x, med f′(x)=exf'(x) = e^x. Da er

(ln⁡x)′=1f′(ln⁡x)=1eln⁡x=1x(\ln x)' = \frac{1}{f'(\ln x)} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}

Slik kommer den kjente regelen (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x} fram.

Modell: Tangentene til exe^x og ln⁡x\ln x

Blå graf: f(x)=exf(x) = e^x. Oransje graf: f−1(x)=ln⁡xf^{-1}(x) = \ln x. Tangentene i de speilede punktene har omvendte stigningstall.

−3−2−1123456−3−2−1123456
f(x)=exf(x) = e^xf−1(x)=ln⁡xf^{-1}(x) = \ln xy=xy = x
f′(0,5)=e0,5=1,649f'(0{,}5) = e^{0{,}5} = 1{,}649
(f−1)′(1,649)=11,649=0,607\left(f^{-1}\right)'(1{,}649) = \dfrac{1}{1{,}649} = 0{,}607

Prøv dette:

  1. Hvor må aa være for at begge tangentene skal ha samme stigningstall? Hva er stigningstallet da?
  2. Hva skjer med stigningstallet til ln⁡x\ln x når tangenten til exe^x blir veldig bratt?

Når er den omvendte funksjonen ikke deriverbar?

Er f′(a)=0f'(a) = 0, har ff en vannrett tangent i aa. Speilet blir den en loddrett tangent, og f−1f^{-1} er ikke deriverbar i bb. For eksempel har x3x^3 vannrett tangent i 0, og derfor har x3\sqrt[3]{x} loddrett tangent i 0.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: I et punkt

La f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x. Finn (f−1)′(2)\left(f^{-1}\right)'(2).

Vi trenger aa med f(a)=2f(a) = 2. Prøving gir f(1)=1+1=2f(1) = 1 + 1 = 2, så a=1a = 1.
f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1, så f′(1)=4f'(1) = 4.
(f−1)′(2)=1f′(1)=14\left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}.
Eksempel 2: Kvadratroten

Bruk regelen til å finne den deriverte av g(x)=xg(x) = \sqrt{x}, som er den omvendte funksjonen til f(x)=x2f(x) = x^2 for x≥0x \geq 0.

f′(x)=2xf'(x) = 2x.
g′(x)=1f′(g(x))=12xg'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Det stemmer med potensregelen: (x12)′=12x−12\left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.
Eksempel 3: Tangenten til den omvendte funksjonen

La f(x)=e2xf(x) = e^{2x}. Finn tangenten til f−1f^{-1} i punktet der x=e2x = e^2.

f(1)=e2f(1) = e^2, så punktet på f−1f^{-1} er (e2,1)(e^2, 1).
f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}, så f′(1)=2e2f'(1) = 2e^2 og (f−1)′(e2)=12e2\left(f^{-1}\right)'(e^2) = \dfrac{1}{2e^2}.
Tangenten: y−1=12e2(x−e2)y - 1 = \dfrac{1}{2e^2}(x - e^2), altså y=x2e2+12y = \dfrac{x}{2e^2} + \dfrac{1}{2}.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å bruke f′(b)f'(b) i stedet for f′(a)f'(a). Regn ut f′f' i xx-verdien til ff, altså der f(a)=bf(a) = b.
  • Å tro at (f−1)′=1f′(f^{-1})' = \frac{1}{f'} i samme punkt. Punktene er speilet: (a,b)(a, b) på ff svarer til (b,a)(b, a) på f−1f^{-1}.
  • Å glemme at f′(a)=0f'(a) = 0 gir en loddrett tangent og en omvendt funksjon som ikke er deriverbar der.
Huskelapp

Huskelapp

  • (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} der f(a)=bf(a) = b.
  • Speilede tangenter har omvendte stigningstall.
  • (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x} følger fra (ex)′=ex(e^x)' = e^x.
  • f′(a)=0f'(a) = 0 gir loddrett tangent på f−1f^{-1}.
Oppgaver

Øv selv