Lineære funksjoner · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

En strømavtale koster 49 kr i måneden i fastbeløp, pluss 1,20 kr per kWh du bruker. Hva betaler du i en måned?

Dra i glidebryterne. Punktet viser hva du betaler for strømmen du har brukt.

månedsprisen

Strøm brukt (kWh)100Fastbeløp (kr)49Pris per kWh (kr)1,2

100 kWh koster 49 + 100 · 1,2 = 169 kr.

Prøv dette:

Hva betaler du hvis du ikke bruker strøm i det hele tatt? Hvor på grafen ser du det?
Hvor mye dyrere blir det for hver ekstra kWh? Hva med for hver ekstra 100 kWh?
Endre fastbeløpet. Hva skjer med linja? Endre så prisen per kWh. Hva skjer nå?
Kan du lage en avtale der linja er vannrett? Hva betyr det for kunden?

Forklaring

Steg 1: Stigningstall og konstantledd

Bruker du ingenting, betaler du 49 kr. For hver kilowattime kommer det 1,20 kr til:

kWh	0	1	2	100
kr	$49$	$50{,}20$	$51{,}40$	$169$

Med $x$ kWh blir prisen $1{,}20 \cdot x + 49$ , altså

y = 1{,}20x + 49

Grafen er en rett linje. Den starter på 49 og stiger like mye for hver kWh. En lineær funksjon har formen

f(x) = ax + b

$a$ er stigningstallet: hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1. I strømavtalen er $a = 1{,}20$ kr per kWh.
$b$ er konstantleddet: verdien når $x = 0$ , der grafen skjærer $y$ -aksen. I strømavtalen er $b = 49$ kr.

Er $a$ positiv, stiger linja. Er $a$ negativ, synker den. Er $a = 0$ , er linja vannrett.

Modell: Endre $a$ og $b$

y = ax + b

a

1,5

b

1

Når

x

øker med 1, endrer

y

seg med

1{,}5

.

Grafen skjærer

y

-aksen i

(0, 1)

.

Steg 2: Tolk med enheter

Stigningstallet har alltid en enhet: enheten på $y$ per enheten på $x$ . « $a = 1{,}20$ » betyr lite. «Prisen øker med 1,20 kr per kWh» betyr alt. Det er slik du forklarer $a$ og $b$ på eksamen.

Steg 3: Stigningstallet fra to punkter

Bruker du 100 kWh, koster det 169 kr. Bruker du 150 kWh, koster det 229 kr. Prisen økte med $229 - 169 = 60$ kr for $150 - 100 = 50$ kWh ekstra. Per kWh er det 6050=1,20 kr, altså stigningstallet.

Generelt: Går linja gjennom $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ , er stigningstallet endringen i $y$ delt på endringen i $x$ :

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Modell: Linja gjennom to punkter

Dra i punktene $A$ og $B$ . Trekanten viser $\Delta x$ og $\Delta y$ . Utregningen viser stigningstall, konstantledd og formel.

Stigningstall:

a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{ 3 }{ 4 } = 0{,}75

Konstantledd:

b = 2 - 0{,}75 \cdot 1 = 1{,}25

Formel:

y = 0{,}75x + 1{,}25

Prøv dette:

Lag en linje med stigningstall 2. Hvor mange måter kan du gjøre det på?
Hva skjer med stigningstallet når $B$ er lavere enn $A$ ?
Plasser $A$ og $B$ slik at linja går gjennom origo. Hva blir $b$ ?

Steg 4: Finn konstantleddet

Når du har $a$ , setter du inn ett av punktene i $y = ax + b$ og løser for $b$ :

y_1 = a \cdot x_1 + b \quad\Longrightarrow\quad b = y_1 - a \cdot x_1

Steg 5: Fra tabell

$x$	0	1	2	3
$y$	5	8	11	14

Her øker $y$ med 3 hver gang $x$ øker med 1, og $y = 5$ når $x = 0$ . Da er $y = 3x + 5$ . Øker $y$ like mye hver gang $x$ øker like mye, er sammenhengen lineær. Økningen per 1 er stigningstallet, og $y$ -verdien når $x = 0$ er konstantleddet.

Steg 6: Når gjelder modellen?

Klara er 100 cm som fireåring og vokser 7 cm i året. Modellen $f(x) = 7x + 72$ passer godt i barneårene. Men den sier at Klara er 205 cm når hun fyller 19, og 72 cm ved fødselen. Barn vokser ikke med 7 cm i året for alltid. Du må alltid si for hvilke $x$ modellen gjelder.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Godteri i bøtte

Godteri selges i bøtter. 5 hg koster 90 kr, og 20 hg koster 270 kr. Prisen er en lineær funksjon av vekten. Finn formelen og forklar tallene.

a = \dfrac{270 - 90}{20 - 5} = \dfrac{180}{15} = 12

.

Sett inn

(5, 90)

:

90 = 12 \cdot 5 + b

, så

b = 30

.

G(x) = 12x + 30

. Godteriet koster 12 kr per hg, og bøtta koster 30 kr.

Eksempel 2: Produksjonskostnader

Det koster 25 000 kr å lage 20 stoler og 30 000 kr å lage 30 stoler. Lag en lineær modell og tolk den.

a = \dfrac{30\,000 - 25\,000}{30 - 20} = 500

. Hver ekstra stol koster 500 kr.

25\,000 = 500 \cdot 20 + b

, så

b = 15\,000

. Det er de faste kostnadene.

K(x) = 500x + 15\,000

. For 120 stoler:

K(120) = 75\,000

kr.

Eksempel 3: Synkende linje

En tank har 200 liter, og 12 liter renner ut per minutt. Lag en modell.

Mengden minker med 12 liter per minutt, så

a = -12

.

Ved start er det 200 liter, så

b = 200

.

V(x) = -12x + 200

. Tanken er tom når

V(x) = 0

, etter omtrent 16,7 minutter.

Eksempel 4: Gyldighet

Klara er 100 cm når hun er 4 år, 107 cm når hun er 5 år og 114 cm når hun er 6 år. Lag en modell og vurder når den gjelder.

Hun vokser 7 cm per år, så

a = 7

.

100 = 7 \cdot 4 + b

gir

b = 72

.

f(x) = 7x + 72

. Men

f(0) = 72

cm (for lang for en nyfødt) og

f(19) = 205

cm (urealistisk høy).

Modellen er rimelig fra 4 år til omtrent 14 år, der

f(14) = 170

cm.

Vanlige feil

Å bytte om $a$ og $b$ . $a$ står sammen med $x$ . $b$ står alene.
$\frac{\Delta x}{\Delta y}$ i stedet for $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Det er endringen i $y$ som står i telleren.
Å glemme enhetene. Forklar $a$ som «… per …».
Negative tall. $\frac{2 - 8}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2$ . Pass på fortegnene.
Å bruke modellen utenfor gyldighetsområdet.

Huskelapp

$f(x) = ax + b$ : $a$ = endring per 1, $b$ = verdi når $x = 0$ .
$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
$b = y_1 - a \cdot x_1$ .
Tolk med enheter: «… øker med $a$ … per …».
Si alltid for hvilke $x$ modellen gjelder.