Funksjoner og grafer · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Aurora går 1,2 km fra hjemmet sitt til postkontoret, står i kø en stund og går hjem igjen. Under ser du turen hennes, og en graf som følger med minutt for minutt.

Spill av, eller dra i tiden. Bytt mellom de to grafene.

Avstand fra hjemmet (km) mot tid (min)

t\ \text{(min)}

0

Etter 0 minutter er Aurora 0 km fra hjemmet.

Prøv dette:

Hva forteller den flate delen av grafen?
Hvorfor synker den ene grafen, men ikke den andre?
Hvordan ville grafen sett ut hvis Aurora gikk raskere hjem enn dit?

Forklaring

Steg 1: Variable størrelser

Grafen over Auroras tur forteller hele historien uten ord: Den stiger mens hun går dit, er flat mens hun står i kø, og synker når hun går hjem. To størrelser endrer seg samtidig, tiden og avstanden, og grafen viser hvordan de henger sammen.

En variabel er en størrelse som kan endre seg: tid, pris, temperatur, antall. Ofte avhenger den ene av den andre. Prisen for en taxitur avhenger av hvor langt du kjører. Da kaller vi strekningen den uavhengige variabelen ( $x$ ) og prisen den avhengige ( $y$ ).

Steg 2: Hva er en funksjon?

En funksjon er en regel som gir nøyaktig én $y$ -verdi for hver $x$ -verdi. Vi skriver $f(x)$ for verdien funksjonen gir når inputen er $x$ .

Taxien koster 50 kr pluss 15 kr per km: $f(x) = 15x + 50$ . Da er $f(4) = 15 \cdot 4 + 50 = 110$ . Det betyr: En tur på 4 km koster 110 kr.

Steg 3: Fire måter å vise en funksjon på

Representasjon	Taxien
Ord	«50 kr i startpris og 15 kr per km»
Tabell	0 km: 50 kr, 2 km: 80 kr, 4 km: 110 kr
Formel	$f(x) = 15x + 50$
Graf	en rett linje som starter i $(0, 50)$ og stiger 15 for hver km

Å kunne oversette mellom disse fire er en av de viktigste ferdighetene i faget.

Steg 4: Les av en graf

Funksjonsverdi: Hva er $f(3)$ ? Gå fra $x = 3$ opp til grafen og bort til $y$ -aksen.
Grafisk likningsløsning: Når er $f(x) = 100$ ? Gå fra $y = 100$ bort til grafen og ned til $x$ -aksen.
Nullpunkt: der grafen skjærer $x$ -aksen ( $y = 0$ ).
Skjæring med $y$ -aksen: verdien når $x = 0$ , ofte startverdien.
Toppunkt og bunnpunkt: der funksjonen er størst eller minst.
Stigende og synkende: Hvor går grafen oppover, og hvor går den nedover?

Modell: Les av en graf

Temperaturen på en fjelltopp er modellert ved $T(x) = -0{,}8(x - 7)^2 + 14$ , der $x$ er antall måneder etter 1. januar. Dra punktet langs grafen.

T(x)

Punktet:

(6,\ 13{,}2)

Nullpunkter:

x \approx 2{,}8

og

x \approx 11{,}2

. Toppunkt:

(7, 14)

.

Prøv dette:

Hva er temperaturen 1. april ( $x = 3$ )?
I hvilke måneder er temperaturen over 0 grader?
Hva er definisjonsmengden til modellen? Hvorfor gir det ikke mening å bruke den for $x = 20$ ?

Steg 5: Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden er de $x$ -verdiene som gir mening. Et antall kan ikke være negativt, og en modell for de første 10 årene gjelder for $0 \leq x \leq 10$ . Verdimengden er de $y$ -verdiene funksjonen faktisk får.

Steg 6: Grafer som forteller en historie

Hva grafen betyr, avhenger av hva som står på aksene. Viser $y$ -aksen avstanden fra hjemmet, synker grafen når Aurora går hjem. Viser $y$ -aksen lengden av turen så langt, synker den aldri. Turen blir ikke kortere av at hun snur.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Regn ut en funksjonsverdi

En taxi koster $f(x) = 15x + 50$ kroner for $x$ km. Regn ut $f(8)$ og forklar hva det betyr.

f(8) = 15 \cdot 8 + 50 = 120 + 50 = 170

.

En tur på 8 km koster 170 kr.

Eksempel 2: Grafisk løsning

Hvor langt kan du kjøre for 200 kr?

Vi skal finne

x

når

f(x) = 200

. Tegn linja

y = 200

og finn skjæringspunktet med grafen.

Skjæringspunktet er

(10, 200)

. Du kan kjøre 10 km.

Kontroll:

15 \cdot 10 + 50 = 200

.

Eksempel 3: Hvilken graf passer?

Aurora går med jevn fart til postkontoret, står i kø, og går hjem. Grafen viser lengden av turen. Beskriv grafen.

Mens hun går, øker lengden jevnt: en stigende rett linje.

I køen står lengden stille: en vannrett linje.

På vei hjem øker lengden igjen, med samme stigning. Grafen synker aldri.

Eksempel 4: Definisjonsmengde

En modell $A(x) = 200 - 12x$ viser hvor mange liter det er igjen i en tank etter $x$ minutter. Hva er en fornuftig definisjonsmengde?

Tiden kan ikke være negativ, så

x \geq 0

.

Tanken er tom når

200 - 12x = 0

, altså

x \approx 16{,}7

.

Definisjonsmengden er

0 \leq x \leq 16{,}7

. Etter det gir modellen negative liter, som ikke gir mening.

Vanlige feil

$f(3)$ betyr ikke $f$ ganger 3. Det betyr funksjonsverdien når $x = 3$ .
Å bytte om aksene. Finn $x$ -verdien på den vannrette aksen og $y$ -verdien på den loddrette.
Å lese grafen som et bilde. En graf som «går opp og ned» betyr ikke at noe gikk opp og ned en bakke.
Å bruke modellen utenfor definisjonsmengden.

Huskelapp

Funksjon: nøyaktig én $y$ for hver $x$ . $f(3)$ er verdien når $x = 3$ .
Fire representasjoner: ord, tabell, formel, graf.
Nullpunkt: $y = 0$ . Skjæring med $y$ -aksen: $x = 0$ .
Toppunkt og bunnpunkt: størst og minst verdi.
Definisjonsmengde: $x$ -verdiene som gir mening.
Les aksene før du tolker.