Gjennomsnittlig vekstfart

Hvor fort endrer noe seg i gjennomsnitt over en periode? Stigningstallet mellom to punkter på en graf, tolket med enheter.

1P2P
Fint å kunne først: Lineære funksjoner
Utforsk

Start her: utforsk

Du kjører 120 km på 1,5 timer. Først går det fort, så står du i kø en stund, og til slutt går det fort igjen. Grafen viser hvor langt du har kjørt underveis.

Velg start og slutt for en del av turen med glidebryterne.

0,250,50,7511,251,520406080100120tid (timer)kjørt (km)
bilturenlinja gjennom de to punktene
Fra 0 til 1,5 timer kjørte du 120 km på 1,5 timer.
Det er 80 km per time i snitt.

Prøv dette:

  1. Se på hele turen, fra 0 til 1,5 timer. Hvor mange km kjørte du per time i snitt? Kjørte du så fort hele tiden?
  2. Finn delen av turen der du stod i kø. Hvordan ser grafen ut der? Hva blir farten per time?
  3. Den oransje linja går gjennom de to punktene. Hva har brattheten til linja med farten å gjøre?
  4. Flytt start og slutt nærmere og nærmere hverandre. Hva skjer med linja?
Forklaring

Forklaring

Steg 1: Endring delt på endring

Hele bilturen var 120 km på 1,5 timer:

120 km1,5 h=80 km/h\frac{120 \text{ km}}{1{,}5 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}

Du har ikke kjørt i 80 km/h hele tiden. Noen ganger stod du i kø, andre ganger kjørte du fortere. Men i gjennomsnitt var det som om du kjørte jevnt i 80 km/h. Det er stigningstallet til den oransje linja gjennom start- og sluttpunktet.

Samme idé fungerer for alt som endrer seg: temperaturen gjennom et år, antall abonnenter på en avis, overskuddet i en kantine. Den gjennomsnittlige vekstfartenGjennomsnittlig vekstfartHvor mye en funksjon endrer seg i gjennomsnitt per enhet på xx-aksen over et intervall. Det er stigningstallet til sekanten. til ff fra x=ax = a til x=bx = b er

ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Det er akkurat stigningstallet til den rette linja gjennom punktene (a,f(a))(a, f(a)) og (b,f(b))(b, f(b)) på grafen.

Steg 2: Tolk med enheter

Enheten er alltid yy-enheten per xx-enheten. Er yy temperatur i grader og xx tid i måneder, er vekstfarten i grader per måned. Svar alltid med en setning: «Fra 1. mars til 1. juli steg temperaturen i gjennomsnitt med 5 grader per måned.»

Er vekstfarten negativ, minker størrelsen.

Modell: Temperaturen på fjelltoppen

Nå med en funksjon: Temperaturen på en fjelltopp er T(x)=−0,8(x−7)2+14T(x) = -0{,}8(x - 7)^2 + 14 grader, der xx er måneder etter 1. januar. Velg start og slutt for perioden. Den oransje linja går gjennom de to punktene, og stigningstallet er den gjennomsnittlige vekstfarten.

123456789101112−28−24−20−16−12−8−4481216
T(x)T(x)linja gjennom punktene\text{linja gjennom punktene}
T(2)=−6T(2) = -6 og T(6)=13,2T(6) = 13{,}2
Gjennomsnittlig vekstfart: 13,2−(−6)6−2=4,8\dfrac{ 13{,}2 - (-6) }{ 6 - 2 } = 4{,}8 grader per måned

Prøv dette:

  1. Velg perioden fra måned 2 til 12. Hvorfor er vekstfarten nesten 0, selv om temperaturen har endret seg mye underveis?
  2. Finn en periode der vekstfarten er negativ. Hva betyr det?
  3. Flytt bb nærmere og nærmere aa. Hva skjer med linja? (Den nærmer seg tangenten, og vekstfarten nærmer seg den momentane vekstfarten.)

Steg 3: Grafisk med digitalt verktøy

I GeoGebra lager du punktene A=(a,f(a))A = (a, f(a)) og B=(b,f(b))B = (b, f(b)), tegner linja gjennom dem og bruker Stigning. Du kan også regne det ut direkte med formelen.

Steg 4: Momentan vekstfart

Speedometeret viser farten akkurat nå, ikke i gjennomsnitt. Tilsvarende er den momentane vekstfartenMomentan vekstfartHvor fort en funksjon endrer seg i ett bestemt øyeblikk. Den momentane vekstfarten i x=ax = a er f′(a)f'(a). hvor fort funksjonen endrer seg i ett bestemt punkt. Grafisk er det stigningstallet til tangenten i punktet, linja som akkurat berører grafen der. Du finner den i GeoGebra med Tangent. (I R1 lærer du å regne den ut med derivasjon.)

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Temperaturen

Bruk T(x)=−0,8(x−7)2+14T(x) = -0{,}8(x - 7)^2 + 14. Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x=2x = 2 til x=6x = 6, og forklar hva den betyr.

T(2)=−0,8⋅25+14=−6T(2) = -0{,}8 \cdot 25 + 14 = -6 og T(6)=−0,8⋅1+14=13,2T(6) = -0{,}8 \cdot 1 + 14 = 13{,}2.
13,2−(−6)6−2=19,24=4,8\dfrac{13{,}2 - (-6)}{6 - 2} = \dfrac{19{,}2}{4} = 4{,}8.
Fra 1. mars til 1. juli steg temperaturen i gjennomsnitt med 4,8 grader per måned.
Eksempel 2: Avisabonnenter

En avis hadde 3200 papirabonnenter i 2014 og 1690 i 2024. Finn den gjennomsnittlige endringen per år.

1690−32002024−2014=−151010=−151\dfrac{1690 - 3200}{2024 - 2014} = \dfrac{-1510}{10} = -151.
Avisen mistet i gjennomsnitt 151 papirabonnenter per år.
Eksempel 3: Tolk stigningstallet

Overskuddet til en kantine er tegnet som funksjon av antall solgte bagetter. Linja gjennom punktene for 100 og 200 bagetter har stigningstall 24. Hva betyr det?

Enheten er kroner per bagett.
Når salget økte fra 100 til 200 bagetter, økte overskuddet i gjennomsnitt med 24 kr for hver ekstra bagett.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Feil rekkefølge. Trekk fra i samme rekkefølge over og under brøkstreken: f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
  • Å glemme enheten. «4,8» er ikke et svar. «4,8 grader per måned» er et svar.
  • Å tro det sier noe om underveis. Bare start og slutt teller.
  • Negative tall. 13,2−(−6)=19,213{,}2 - (-6) = 19{,}2. Pass på minustegnene.
Huskelapp

Huskelapp

  • Gjennomsnittlig vekstfart: f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}.
  • Det er stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen.
  • Enhet: yy-enhet per xx-enhet. Svar med en setning.
  • Momentan vekstfart: stigningstallet til tangenten i ett punkt.
Oppgaver

Øv selv