Andregradsfunksjoner og optimering

Utforsk

Start her: utforsk

Herman har 80 meter gjerde og skal lage en rektangulær hundegård inntil husveggen. Veggen er den ene langsiden, så gjerdet trengs bare på tre sider. Hvordan skal han lage gården for at den skal bli så stor som mulig?

Dra i lengden. Rektangelet viser gården (husveggen er den tykke streken). Grafen under viser arealet for alle mulige lengder.

Arealet

A

(

\text{m}^2

) som funksjon av lengden

\text{lengde}

60

Lengde

60

m, bredde

10

m, areal

A = 60 \cdot 10 = 600\ \text{m}^2

Prøv dette:

Forutsi: Hvilken lengde gir størst areal? Sjekk.
Hvor mange ulike lengder gir et areal på $600\ \text{m}^2$ ? Hvorfor?
Hva blir arealet for lengde 0 og 80? Hva betyr det i virkeligheten?

Forklaring

Steg 1: Hundegården i en tabell

Lager Herman gården lang og smal, blir arealet lite. Lager han den kort og dyp, blir arealet også lite. Se på noen lengder:

Lengde (m)	10	20	30	40	50	60	70
Bredde (m)	35	30	25	20	15	10	5
Areal (m²)	350	600	750	800	750	600	350

Arealet stiger og synker igjen, og tabellen er symmetrisk rundt 40 m. Et slikt problem, der vi leter etter den beste verdien, kalles et optimeringsproblem.

Med bokstaver: La $x$ være lengden (langs veggen). Gjerdet er $x + 2 \cdot \text{bredden} = 80$ , så bredden er $\frac{80 - x}{2}$ . Arealet blir

A(x) = x \cdot \frac{80 - x}{2} = 40x - 0{,}5x^2

Nullpunktene er $x = 0$ og $x = 80$ , og toppunktet ligger midt imellom: $x = 40$ . Da er bredden 20 m og arealet $800\ \text{m}^2$ .

Steg 2: Andregradsfunksjoner

$A(x) = -0{,}5x^2 + 40x$ er et eksempel på en andregradsfunksjon.

En andregradsfunksjon har formen

f(x) = ax^2 + bx + c

Grafen kalles en parabel. Fortegnet til $a$ bestemmer formen:

$a > 0$ : parabelen er «glad» og har et bunnpunkt.
$a < 0$ : parabelen er «sur» og har et toppunkt.

Parabelen er symmetrisk. Toppunktet (eller bunnpunktet) ligger midt mellom nullpunktene. For hundegården er $a = -0{,}5 < 0$ , så grafen har et toppunkt.

Modell: Parabelen

Endre $a$ , $b$ og $c$ . Når får parabelen et toppunkt, og når et bunnpunkt?

f(x) = ax^2 + bx + c

a

−0,5

b

2

c

1

Ekstremalpunkt:

\left(2,\ 3\right)

Er

a < 0

, er det et toppunkt. Er

a > 0

, er det et bunnpunkt. Nå er

a = -0{,}5

.

Steg 3: Oppskrift for optimering

Hva kan du velge? Gi det et navn, for eksempel $x$ = lengden.
Hva vil du gjøre størst eller minst? Skriv det som en funksjon av $x$ .
Finn ekstremalpunktet med et digitalt verktøy. I GeoGebra: tegn funksjonen og bruk Ekstremalpunkt.
Svar med ord i situasjonen, med enheter.
Sjekk definisjonsmengden. Hvilke $x$ er mulige?

Steg 4: Ikke bare andregrad

Mange optimeringsproblemer gir andre funksjoner. Klipper du kvadrater ut av hjørnene på en plate og bretter opp kantene til en eske, blir volumet en tredjegradsfunksjon. Metoden er den samme: Lag funksjonen, tegn den, og finn toppunktet digitalt.

Modell: Esken

Klipp like store kvadrater ut av hjørnene på en kvadratisk papplate, og brett opp kantene. Hvor stort bør hvert kvadrat være for at esken skal romme mest?

Klipp ut hjørnene og brett langs de stiplede linjene.

Esken: 24 × 24 × 3 cm

Hjørne

x

3 cm Vis maksimum

Volum:

V(x) = x(30 - 2x)^2 = 3 \cdot 24^2 = \mathbf{1728}\ \text{cm}^3

Steg 5: Overskudd

For en bedrift er overskuddet inntekter minus kostnader. Selger kantina for få bagetter, tjener den lite. Selger den for mange, må prisen ned og svinnet øker. Et sted midt imellom er overskuddet størst. Er overskuddet modellert som en andregradsfunksjon, finner du det største overskuddet i toppunktet.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Hundegården

Herman har 80 m gjerde til en rektangulær gård inntil en husvegg. Hvilke mål gir størst areal?

La

x

være lengden langs veggen. Bredden er

\frac{80 - x}{2}

.

A(x) = x \cdot \frac{80 - x}{2}

med definisjonsmengde

0 < x < 80

.

Toppunktet (fra GeoGebra, eller midt mellom nullpunktene 0 og 80) er

(40, 800)

.

Gården bør være 40 m lang og 20 m bred. Da blir arealet

800\ \text{m}^2

.

Eksempel 2: Kantina

Overskuddet ved å selge $x$ bagetter er modellert ved $O(x) = -0{,}055x^2 + 31x + 90$ kroner. Hvor mange bagetter bør kantina selge?

a < 0

, så grafen har et toppunkt.

GeoGebra gir toppunktet

(282, 4458)

(avrundet).

Kantina bør selge omtrent 282 bagetter. Da blir overskuddet omtrent 4460 kr.

Eksempel 3: Nullpunkter og symmetri

Et kast følger $h(x) = -0{,}1x^2 + 2x$ , der $h$ er høyden og $x$ er avstanden (begge i meter). Hvor høyt kommer ballen?

Nullpunkter:

-0{,}1x^2 + 2x = x(2 - 0{,}1x) = 0

, altså

x = 0

og

x = 20

.

Toppunktet ligger midt imellom:

x = 10

.

h(10) = -0{,}1 \cdot 100 + 20 = 10

. Ballen kommer 10 m høyt.

Vanlige feil

Toppunkt eller bunnpunkt? Sjekk fortegnet til $a$ .
Bare én koordinat. Oppgi det oppgaven spør om: $x$ -verdien (hvor mange, hvor lang) eller $y$ -verdien (hvor stort).
Å glemme enheter og kontekst. « $(40, 800)$ » er ikke et svar. «Gården bør være 40 m lang, og arealet blir 800 m²» er et svar.
Å se bort fra definisjonsmengden. En lengde kan ikke være negativ, og gjerdet kan ikke være lengre enn 80 m.

Huskelapp

$f(x) = ax^2 + bx + c$ : parabel. $a < 0$ : toppunkt. $a > 0$ : bunnpunkt.
Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene.
Optimering: velg variabel, lag funksjon, finn ekstremalpunkt, svar med ord, sjekk definisjonsmengden.
Overskudd = inntekter − kostnader.