Prosentvis endring og vekstfaktor

Utforsk

Start her: utforsk

En konsertbillett kostet 500 kr i fjor. I år koster den 600 kr. Prisen har steget med 100 kr. Er det mye?

100 kr ekstra på en billett til 500 kr er mye. 100 kr ekstra på en bil til 300 000 kr merker du knapt. Vi trenger en måte å måle endringen på som tar hensyn til hvor stort utgangspunktet var.

Det grå båndet er prisen før endringen. Dra streken, eller bruk glidebryterne. Aksen står stille, så du ser hvor mye verdien faktisk flytter seg.

Grunnverdi 500Endring (%) 20

Før: 500 kr. Etter: 600 kr. Endring: +100 kr.

Etter endringen er verdien 120 % av verdien før.

Prøv dette:

Hvor mange prosent har billetten steget? Les av på tallinja.
Etter økningen er den nye prisen hvor mange prosent av den gamle? Hva blir det etter en økning på $5\ \%$ ? Etter en nedgang på $30\ \%$ ?
Gjett: Hvilket tall kan du gange 500 med for å få 600 direkte? Og hvilket tall gir prisen etter $30\ \%$ nedgang?

Forklaring

Steg 1: Prosentvis endring

Billetten steg med 100 kr. Sammenlignet med prisen før endringen er det

\frac{100}{500} = 0{,}20 = 20\ \%

Bilen steg også med 100 kr, men $\frac{100}{300\,000} \approx 0{,}03\ \%$ . Prosenten viser at endringen er liten for bilen og stor for billetten. Slik regner du alltid:

\text{prosentvis endring} = \frac{\text{ny verdi} - \text{gammel verdi}}{\text{gammel verdi}} \cdot 100\ \%

Steg 2: Vekstfaktoren

På tallinja så du at etter en økning på $20\ \%$ er den nye prisen $120\ \%$ av den gamle: de gamle $100\ \%$ pluss $20\ \%$ til. Og $120\ \% = 1{,}20$ . Da kan du gange direkte:

500 \cdot 1{,}20 = 600

Etter en nedgang på $30\ \%$ er det $70\ \%$ igjen, så du ganger med $0{,}70$ : $500 \cdot 0{,}70 = 350$ .

Tallet du ganger med, heter vekstfaktoren. Øker noe med $p\ \%$ , er den nye verdien $(100 + p)\ \%$ av den gamle. Minker noe med $p\ \%$ , er den $(100 - p)\ \%$ av den gamle:

\text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot \text{vekstfaktor}, \qquad \text{vekstfaktor} = 1 \pm \frac{p}{100}

Endring	Vekstfaktor
økning på $20\ \%$	$1{,}20$
økning på $5\ \%$	$1{,}05$
økning på $150\ \%$	$2{,}50$
nedgang på $30\ \%$	$0{,}70$
nedgang på $4\ \%$	$0{,}96$

Du slipper å regne ut endringen i kroner først. En jakke til 800 kr med 30 % rabatt koster $800 \cdot 0{,}70 = 560$ kr, rett fram.

Steg 3: Fra vekstfaktor til prosent

Større enn 1 betyr økning, mindre enn 1 betyr nedgang. Trekk fra 1 og gang med 100:

$1{,}08$ betyr $+8\ \%$ .
$0{,}92$ betyr $-8\ \%$ .
$2$ betyr $+100\ \%$ : verdien er doblet.
$0{,}5$ betyr $-50\ \%$ : verdien er halvert.

Modell: Nå med vekstfaktoren

Samme tallinje som øverst, men nå viser den vekstfaktoren og utregningen.

Grunnverdi 500Endring (%) 20

Vekstfaktor: 1+20100=1,2

Ny verdi:

500 \cdot 1{,}2 = 600\text{ kr}

Endringen er

100\text{ kr}

, som er

20\ \%

av grunnverdien

500\text{ kr}

.

Prøv dette:

Forutsi: Hva blir vekstfaktoren for en nedgang på $25\ \%$ ? Sjekk.
Finn endringen som gjør verdien dobbelt så stor. Hvilken vekstfaktor er det?
Kan en verdi minke med mer enn $100\ \%$ ? Hva ville det betydd?

Steg 4: Finn vekstfaktoren fra to verdier

Billetten gikk fra 500 kr til 600 kr. Hva ganget vi med? 600500=1,2, altså en økning på $20\ \%$ . Kjenner du verdien før og etter, er vekstfaktoren forholdet mellom dem:

\text{vekstfaktor} = \frac{\text{ny verdi}}{\text{gammel verdi}}

Det er ofte den raskeste måten å finne prosentvis endring på.

Moms

Merverdiavgiften (moms) på de fleste varer i Norge er $25\ \%$ . Prisen med moms er prisen uten moms ganget med vekstfaktoren $1{,}25$ . En vare som koster 400 kr uten moms, koster $400 \cdot 1{,}25 = 500$ kr med moms.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Hvor mange prosent?

En billett økte fra 500 kr til 600 kr. Hvor mange prosent økte prisen?

Vekstfaktor: 600500=1,2.

1{,}2 - 1 = 0{,}2 = 20\ \%

. Prisen økte med

20\ \%

.

Eksempel 2: Rabatt

En jakke koster 800 kr. Den selges med $30\ \%$ rabatt. Hva er den nye prisen?

Nedgang på

30\ \%

: vekstfaktor

1 - 0{,}30 = 0{,}70

.

800 \cdot 0{,}70 = 560

kr.

Eksempel 3: Strømpris

Strømprisen er $1{,}25$ kr per kWh. Den øker med $16\ \%$ . Hva blir den nye prisen?

Vekstfaktor:

1{,}16

.

1{,}25 \cdot 1{,}16 = 1{,}45

kr per kWh.

Eksempel 4: Tolk vekstfaktoren

Antall abonnenter på en avis ganges med $0{,}85$ hvert år. Hva betyr det?

0{,}85 < 1

, så antallet minker.

0{,}85 - 1 = -0{,}15

. Antallet går ned med

15\ \%

hvert år.

Eksempel 5: Med bokstaver

En vare koster $x$ kr uten moms. Momsen er $25\ \%$ . Vis at prisen med moms er $1{,}25x$ .

Momsen er

25\ \%

av

x

, altså

0{,}25x

.

Prisen med moms er

x + 0{,}25x

.

Sett

x

utenfor en parentes:

x + 0{,}25x = x(1 + 0{,}25) = 1{,}25x

. Vekstfaktoren er

1{,}25

.

Vanlige feil

Dele på den nye verdien. Prosentvis endring regnes av verdien før endringen.
Feil vekstfaktor ved nedgang. $30\ \%$ nedgang gir $0{,}70$ , ikke $0{,}30$ . Med $0{,}30$ finner du rabatten, ikke den nye prisen.
$1{,}5$ betyr ikke $1{,}5\ \%$ . Vekstfaktoren $1{,}5$ betyr en økning på $50\ \%$ .
Å tro at $+100\ \%$ er umulig. $+100\ \%$ betyr at verdien er doblet (vekstfaktor 2).

Huskelapp

Prosentvis endring $= \dfrac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\ \%$
Vekstfaktor =1+p100 (økning) eller 1−p100 (nedgang).
Ny verdi $=$ gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.
Vekstfaktor $= \dfrac{\text{ny}}{\text{gammel}}$ . Trekk fra 1 og gang med 100 for å få prosenten.
Moms: gang med $1{,}25$ .