Kvadratrot og rotuttrykk · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Et kvadratisk soverom har gulvareal 25 m². Hvor lang er hver vegg?

Hver rute i rutenettet er 1 m × 1 m. Endre arealet og se hvor lang siden blir.

Areal (m²)16

Areal: 16 m². Siden er 4 m.

Sjekk: 4 · 4 = 16

Prøv dette:

Sett arealet til 25 m². Hvor lang er hver vegg? Tell rutene langs kanten.
Finn alle arealer mellom 1 og 100 der siden blir et helt tall. Hva har disse tallene til felles?
Gjett først: Hvor lang er siden når arealet er 50 m²? Mellom hvilke to hele tall ligger den?
Hva skjer med siden når arealet blir fire ganger så stort, for eksempel fra 25 til 100?

Forklaring

Steg 1: Hva er kvadratroten?

Soverommet på 25 m² har vegger på 5 m, fordi $5 \cdot 5 = 25$ . Å finne siden når du kjenner arealet, er det motsatte av å kvadrere. Den operasjonen heter kvadratrot, og skrives $\sqrt{25} = 5$ .

Kvadratroten av $a$ er det positive tallet som ganget med seg selv blir $a$ :

\sqrt{a} = b \quad\text{betyr}\quad b \cdot b = a \quad (b \geq 0)

Det lønner seg å kunne kvadrattallene: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ . Da vet du at $\sqrt{81} = 9$ og $\sqrt{144} = 12$ .

Steg 2: Anslå en kvadratrot

Et rom på 50 m² har ikke hele meter langs veggene. $\sqrt{50}$ er ikke et helt tall. Men $49 < 50 < 64$ , så $7 < \sqrt{50} < 8$ . Og siden 50 er mye nærmere 49 enn 64, er $\sqrt{50}$ litt over 7. (Kalkulatoren gir $7{,}07$ .)

Modell: Kvadratroten på grafen

Nå med en graf. Grafen viser $y = x^2$ : arealet av et kvadrat med side $x$ . Den vannrette linja er $y = A$ . Der linja treffer grafen, er $x = \sqrt{A}$ .

y = x^2

y = A

A

50

\sqrt{ 50 } \approx 7{,}071

Sjekk:

7{,}071^2 \approx 50

Prøv dette:

Forutsi: Mellom hvilke to hele tall ligger $\sqrt{30}$ ? Sjekk.
Finn alle hele tall $A$ mellom 0 og 100 der $\sqrt{A}$ blir et helt tall.
Hvorfor vokser $\sqrt{A}$ saktere og saktere når $A$ øker?

Steg 3: Rot i formler

Står det en kvadrert størrelse i en formel, bruker du kvadratroten for å finne den. Politiet bruker $B = \dfrac{x^2}{2}$ som tommelfingerregel for bremselengden $B$ (i meter), der $x$ er farten i km/h delt på 10. Kjenner du bremselengden, kan du finne farten:

B = \frac{x^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 2B \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{2B}

Steg 4: Tredjerot og $n$ -te rot

Tredjeroten $\sqrt[3]{a}$ er tallet som opphøyd i tredje blir $a$ . En terning med volum $64\ \text{cm}^3$ har side $\sqrt[3]{64} = 4$ cm, fordi $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ .

Generelt er $\sqrt[n]{a}$ tallet som opphøyd i $n$ blir $a$ . Røtter kan skrives som potenser:

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}, \qquad \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}, \qquad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

Det er slik du finner vekstfaktoren per år når du vet hvor mye noe har vokst på flere år: $b = \left(\frac{\text{slutt}}{\text{start}}\right)^{1/n}$ .

Steg 5: Regler og en felle

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ .
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . For eksempel er $\sqrt{4 \cdot 9} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Anslå

Mellom hvilke to hele tall ligger $\sqrt{90}$ ?

81 < 90 < 100

.

Derfor er

9 < \sqrt{90} < 10

. (Kalkulatoren gir

9{,}49

.)

Eksempel 2: Bremselengden

En bil har bremselengde 40,5 m. Bruk $B = \dfrac{x^2}{2}$ til å finne farten.

x = \sqrt{2B} = \sqrt{2 \cdot 40{,}5} = \sqrt{81} = 9

.

x

er farten delt på 10, så farten var

90

km/h.

Eksempel 3: Tomten

En kvadratisk tomt har areal 900 m². Hvor mange meter gjerde trengs rundt den?

Siden er

\sqrt{900} = 30

m.

Omkretsen er

4 \cdot 30 = 120

m.

Eksempel 4: Tredjerot

En terningformet eske rommer 27 liter. Hvor lang er siden?

27

L

= 27\ \text{dm}^3

.