Potenser · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Et vanlig papirark er omtrent 0,1 mm tykt. Brett det på midten, og det blir dobbelt så tykt. Brett igjen, og det dobles igjen. Hvor tykt blir det etter 10 brettinger? Etter 42?

Gjett først, og dra så i glidebryteren.

8 lag

0,8 mm

Tynnere enn en mobiltelefon.

Neste: en mobiltelefon som ligger flatt (8 mm).

Antall brettinger 3

Antall lag: 2 · 2 · 2 = 8

Tykkelse: 8 · 0,1 mm = 0,8 mm

Prøv dette:

Skriv ned gjetningen din for 10 brettinger. Hvor nær var du?
Hvor mange brettinger trengs for å bli tykkere enn et menneske? Enn Mount Everest?
Hva skjer med antall lag for hver bretting? Hvorfor vokser tykkelsen så fort, når vi bare dobler?
Å skrive « $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots$ » 42 ganger er tungvint. Finnes det en kortere måte?

Forklaring

Steg 1: Grunntall og eksponent

Etter 10 brettinger er antall lag $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$ , og tykkelsen er $0{,}1 \cdot 1024 \approx 102$ mm, omtrent 10 cm. Å skrive «ganger 2» ti ganger er tungvint. Derfor har vi en kortform: $2^{10}$ . Tallet oppe til høyre forteller hvor mange ganger 2 ganges med seg selv.

En potens er gjentatt multiplikasjon av samme tall:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ faktorer}}

$a$ er grunntallet og $n$ er eksponenten. $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Les: «2 opphøyd i 5».

Modell: Brett arket

Programmet dobler tykkelsen for hver bretting. Kjør det, og endre antallet brettinger.

PythonBretting av papir

Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Prøv dette: Tykkelsen etter $n$ brettinger er $0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Regn ut $2^{42}$ på kalkulatoren. Stemmer det med programmet? Månen er omtrent 384 000 km unna.

Steg 2: Tierpotenser

Med grunntall 10 blir det særlig enkelt. Eksponenten forteller hvor mange nuller det er:

Tierpotens	Tall	Navn
$10^1$	$10$	ti
$10^3$	$1000$	tusen
$10^6$	$1\,000\,000$	million
$10^9$	$1\,000\,000\,000$	milliard
$10^{12}$	$1\,000\,000\,000\,000$	billion

Steg 3: Null og negative eksponenter

Gå baklengs: Hver gang eksponenten blir én mindre, deler vi på grunntallet. $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ , og da må

2^0 = 1, \qquad 2^{-1} = \frac{1}{2}, \qquad 2^{-2} = \frac{1}{4}, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}

For tierpotenser betyr det at $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$ . Negative eksponenter gir små tall, ikke negative tall.

Modell: Potenstrappa

Gå ett trinn til høyre: gang med grunntallet. Gå ett trinn til venstre: del på grunntallet. Da kommer $a^0 = 1$ og de negative eksponentene helt av seg selv.

Grunntall:

2^-3

18

2^-2

14

2^-1

12

2⁰

1

2¹

2

2²

4

2³

8

2⁴

16

Hvert trinn til venstre deler på 2. Derfor er 2⁰ = 2 : 2 = 1, og 2⁻¹ = 1 : 2.

Prøv dette: Hva står på trinnet for $10^{-2}$ ? Hvorfor er ikke $2^0 = 0$ ?

Steg 4: Regnereglene

Alle reglene følger av at du teller faktorer:

Regel	Hvorfor	Eksempel
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$m$ faktorer og $n$ faktorer til	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$n$ faktorer strykes	$\dfrac{10^8}{10^5} = 10^3$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$n$ grupper med $m$ faktorer	$(10^2)^3 = 10^6$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	faktorene kan byttes om	$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Regn ut

Regn ut $2^5$ , $10^4$ og $5^0$ .

2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

.

10^4 = 10\,000

(fire nuller).

5^0 = 1

. Alle tall (unntatt 0) opphøyd i null blir 1.

Eksempel 2: Negative eksponenter

Skriv $10^{-3}$ og $2^{-3}$ som brøk og desimaltall.

10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001

.

2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125

.

Eksempel 3: Regneregler

Forenkle $\dfrac{3^2 \cdot 3^5}{3^4}$ .

Teller:

3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7

.

Del:

\dfrac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27

.

Eksempel 4: Minustegnet

Regn ut $(-2)^4$ og $-2^4$ .

(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

. Et partall antall minustegn gir pluss.

-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16

.

Vanlige feil

$2^3 = 6$ . Potens er ikke gange. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
$a^0 = 0$ . Det riktige er $a^0 = 1$ .
Negative eksponenter gir negative tall. $10^{-2} = 0{,}01$ , som er positivt.
Å gange eksponentene når du ganger potenser. $10^3 \cdot 10^4 = 10^7$ , ikke $10^{12}$ .
Minustegnet. $-3^2 = -9$ , men $(-3)^2 = 9$ .

Huskelapp

$a^n = a \cdot a \cdots a$ ( $n$ faktorer).
$10^n$ : 1 med $n$ nuller. $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ .
$a^0 = 1$ og $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ .
$(-3)^2 = 9$ , men $-3^2 = -9$ .