Omdreiningslegemer · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Legg en tegnet kurve inntil en dreiebenk og la den rotere raskt. Formen som oppstår, ser ut som en vase, en kjegle eller en ball. Slike former er overalt: flasker, lampeskjermer og lyspærer. Hvor mye vann rommer vasen under?

For å finne volumet kan du skjære vasen i tynne skiver på tvers, som en salami. Øk antall skiver.

n

6

Med 6 skiver:

V \approx \sum \pi f(x_i)^2 \Delta x = 26{,}035

Eksakt:

V = \pi \displaystyle\int_{0}^{5} \left(1{,}2 + 0{,}6\sin(1{,}4x)\right)^2 dx \approx 26{,}042

Prøv dette:

Hvilken form har hver skive? Hvordan finner du volumet av én skive?
Hvor stor er radien til skiva der vasen er tykkest? Der den er tynnest?
Øk antall skiver. Hva skjer med det samlede volumet? Hvor mange skiver trengs for at svaret skal slutte å endre seg i første desimal?

Forklaring

Skivemetoden

Hver skive i vasen er nesten en sylinder, og volumet av en sylinder kjenner vi: $\pi r^2 h$ . Radien er høyden til grafen der skiva er, og tykkelsen er skivas bredde. Der vasen er tykkest, er radien $1{,}8$ , og en skive med tykkelse $0{,}1$ har volumet $\pi \cdot 1{,}8^2 \cdot 0{,}1 \approx 1{,}02$ .

Generelt: Roteres grafen til $f$ om $x$ -aksen fra $x = a$ til $x = b$ , har skiven ved $x$ radius $f(x)$ og tykkelse $\Delta x$ . Volumet av skiven er

\pi \big(f(x)\big)^2 \Delta x

Summerer vi alle skivene og lar dem bli uendelig tynne, får vi volumet av omdreiningslegemet:

V = \pi \int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx

Legg merke til at det er $f(x)$ i andre: radien kvadreres i sylinderformelen.

Modell: Paraboloide

Grafen $f(x) = \sqrt{x}$ rotert om $x$ -aksen gir en paraboloide, formen på en parabolantenne eller en lyskaster. Øk antall skiver og se tilnærmingen nærme seg det eksakte volumet.

n

6

Med 6 skiver:

V \approx \sum \pi f(x_i)^2 \Delta x = 25{,}133

Eksakt:

V = \pi \displaystyle\int_{0}^{4} \left(\sqrt{x}\right)^2 dx \approx 25{,}133

Skiver med hull

Roteres området mellom to grafer $f(x) \geq g(x) \geq 0$ , får hver skive et hull. Volumet blir den ytre skiven minus hullet:

V = \pi \int_a^b \Big(\big(f(x)\big)^2 - \big(g(x)\big)^2\Big)\,dx

Andre mål

Med integrasjon kan vi også finne andre størrelser, som massen når tettheten varierer ( $m = \int \rho \cdot dV$ ), eller hvor mye væske som er i en beholder opp til en viss høyde.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Paraboloiden

Finn volumet når $f(x) = \sqrt{x}$ roteres om $x$ -aksen fra $x = 0$ til $x = 4$ .

V = \pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx

.

= \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \approx 25{,}1

.

Eksempel 2: Volumet av en kjegle

En kjegle med radius $r$ og høyde $h$ kan lages ved å rotere linja $f(x) = \frac{r}{h}x$ fra $0$ til $h$ . Vis at volumet er $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ .

V = \pi\displaystyle\int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\frac{r^2}{h^2}\int_0^h x^2\,dx

.

= \pi\dfrac{r^2}{h^2} \cdot \dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h

.

Eksempel 3: Volumet av en kule

En kule med radius $R$ lages ved å rotere halvsirkelen $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ fra $-R$ til $R$ . Finn volumet.

V = \pi\displaystyle\int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi\left[R^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R}

.

= \pi\left(\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right) = \pi \cdot \frac{4R^3}{3}

.

V = \frac{4}{3}\pi R^3

, den kjente formelen.

Vanlige feil

Å glemme å kvadrere. $V = \pi\int f(x)^2\,dx$ , ikke $\pi\int f(x)\,dx$ .
Å glemme $\pi$ .
Skiver med hull: $\pi\int(f - g)^2\,dx$ . Riktig er $\pi\int(f^2 - g^2)\,dx$ .
Å blande areal og volum. Enheten for volum er lengde i tredje.

Huskelapp

Om $x$ -aksen: $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx$
Mellom to grafer: $V = \pi\int_a^b \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx$
Kjegle: $\frac{1}{3}\pi r^2h$ , kule: $\frac{4}{3}\pi R^3$ , begge kan utledes med integrasjon.