Integrasjon i modellering · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Et solcellepanel på taket leverer effekt som varierer gjennom dagen: lite om morgenen, mest midt på dagen og ingenting om natta. Strømmåleren viser effekten i kilowatt (kW) hvert øyeblikk. Men det du får betalt for, er energien, i kilowattimer (kWh). Hvor mye energi gir panelet på en dag?

Punktene er målt effekt hver time fra klokka 5 til 21 (eksempeldata).

Velg en modell, og se integralet (energien) nederst.

klokkeslett 13

Modell (

t

= klokkeslett):

f(t) = -0{,}06068t^{2} + 1{,}578t - 6{,}828

Den deriverte:

f'(t) = -0{,}1214t + 1{,}578

I klokkeslett 13: modellen gir 3,427 kW, og vekstfarten er −8,88e-16 kW per klokkeslett.

Integralet av modellen:

\displaystyle\int_{5}^{21} f\,dx \approx 34{,}12

kWh

Forklaringsgrad

R^2 = 0{,}9612

. Jo nærmere 1, jo bedre passer modellen til dataene, men sjekk alltid om modellen gir mening utenfor dataene.

Data (klokkeslett og effekt (kW), én linje per punkt)

Lim gjerne inn egne målinger.

Prøv dette:

Mellom klokka 12 og 13 er effekten omtrent 3,6–3,7 kW. Omtrent hvor mange kWh gir panelet den timen?
Gjør det samme for timen mellom 7 og 8. Hvordan kan du finne energien for hele dagen?
Velg en modell. Hvor godt stemmer energien nederst med din egen opptelling?

Forklaring

To veier fra data til total

Energi er effekt ganger tid. I timen fra 12 til 13 var effekten nesten konstant, rundt 3,65 kW, så energien var omtrent $3{,}65 \cdot 1 = 3{,}65$ kWh. Legger vi sammen alle timene, får vi energien for hele dagen. Men effekten endrer seg hele tiden. Derfor er energien integralet av effekten. Med måledata finnes det to veier:

Modell + integral: Tilpass en funksjon til dataene (regresjon) og integrer funksjonen.
Direkte numerisk: Bruk trapesmetoden rett på måleverdiene.

Den første gir en formel du kan analysere videre, for eksempel derivere. Den andre krever ingen modell, men kan ikke brukes utenfor målepunktene.

Modell: Trapesmetoden på dataene

PythonEnergi fra måledata

Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Prøv dette:

Hvor godt stemmer integralet av modellen med trapesmetoden?
Når øker effekten raskest ifølge sinusmodellen?
Bytt ut dataene med egne målinger, for eksempel fra en treningsapp (fart) eller Yr (nedbør per time).

Hva integralet betyr

Det bestemte integralet av en rate gir den totale mengden:

Rate (per tid)	Integral
effekt (kW)	energi (kWh)
fart (m/s)	strekning (m)
nedbørsintensitet (mm/t)	nedbør (mm)
vannføring (m³/s)	vannmengde (m³)
smittede per dag	antall smittede totalt

Derivasjon og integrasjon sammen

Med en modell $P(t)$ kan vi spørre:

Hvor mye totalt? $\int_a^b P(t)\,dt$
Når øker det raskest? Der $P'(t)$ er størst, altså der $P''(t) = 0$ .
Hva er gjennomsnittet? $\bar P = \frac{1}{b - a}\int_a^b P(t)\,dt$

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Trapesmetoden på solcelledataene

Finn energien fra kl. 5 til kl. 21 med trapesmetoden.

Med

\Delta t = 1

time og null i begge endepunkter er trapessummen lik summen av de indre verdiene.

0{,}3 + 0{,}9 + 1{,}6 + 2{,}3 + 2{,}9 + 3{,}3 + 3{,}6 + 3{,}7 + 3{,}6 + 3{,}3 + 2{,}9 + 2{,}3 + 1{,}6 + 0{,}9 + 0{,}3 = 33{,}5

.

Panelet leverte omtrent 33,5 kWh.

Eksempel 2: Gjennomsnittlig effekt

Hva var den gjennomsnittlige effekten fra kl. 5 til kl. 21?

\bar P = \dfrac{1}{21 - 5}\displaystyle\int_5^{21} P(t)\,dt \approx \dfrac{33{,}5}{16} \approx 2{,}1

kW.

Eksempel 3: Strekning fra fartsmodell

En syklist har fart modellert ved $v(t) = 8 - 8e^{-0{,}5t}$ m/s. Hvor langt sykler hun de første 10 sekundene?

s = \displaystyle\int_0^{10} \left(8 - 8e^{-0{,}5t}\right)dt = \left[8t + 16e^{-0{,}5t}\right]_0^{10}

.

= (80 + 16e^{-5}) - (0 + 16) \approx 64{,}1

m.

Vanlige feil

Feil enhet på integralet. Enheten er ratens enhet ganger tidens enhet: kW · h = kWh.
Å blande effekt og energi. Effekten er hvor fort energi leveres, energien er totalen.
Å ekstrapolere modellen. Andregradsmodellen for solcellene blir negativ utenfor dagtimene, noe som ikke gir mening.
Ulik $\Delta t$ i dataene. Trapesmetoden i programmet over bruker $\Delta t$ for hvert intervall, så den tåler ujevne målinger.

Huskelapp

Integralet av en rate er den totale mengden.
Modell + integral, eller trapesmetoden direkte på data.
Gjennomsnitt: $\bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$ .
Derivasjon av modellen gir når endringen er raskest.