Likningssett

To ukjente og to likninger. Innsettingsmetoden, grafisk løsning og prøving med et program, og hva det betyr når linjene er parallelle.

2P
Fint å kunne først: LikningerLineære funksjoner
Utforsk

Start her: utforsk

En klasse kjøpte 30 ispinner og 30 bokser mineralvann for 900 kr til sammen. En boks mineralvann kostet 6 kr mer enn en ispinne. Hva kostet hver av dem?

Prøv deg fram. Velg en pris på ispinnen og en på mineralvannet, og trykk «Sjekk og merk av». Hvert forsøk blir et punkt.

5101520253051015202530ispinne (kr)mineralvann (kr)
● 30 ispinner og 30 bokser koster: 900 kr (skal være 900) ✓
● Mineralvannet er så mye dyrere: 10 kr (skal være 6) ✗

Prøv dette:

  1. Finn flere prispar som gir 900 kr til sammen, og merk dem av. Hvor ligger de grønne punktene?
  2. Finn flere par der mineralvannet er 6 kr dyrere. Hvor ligger de oransje punktene?
  3. Finn det ene paret som passer med begge opplysningene. Hvor ligger det i forhold til de grønne og de oransje punktene?
Forklaring

Forklaring

Steg 1: To ukjente, to likninger

Det er to ukjente: prisen på en ispinne og prisen på en boks mineralvann. Én opplysning er ikke nok. «Til sammen 900 kr» passer med mange par, som 10 kr og 20 kr, 15 kr og 15 kr, eller 20 kr og 10 kr. Men bare ett par passer med begge opplysningene.

La xx være prisen på en ispinne og yy prisen på en boks mineralvann. Opplysningene gir

I:30x+30y=900II:y=x+6\begin{aligned} \text{I:} \quad & 30x + 30y = 900 \\ \text{II:} \quad & y = x + 6 \end{aligned}

En løsning av likningssettetLikningssettTo (eller flere) likninger med to (eller flere) ukjente som skal gjelde samtidig. Løsningen er et par (x,y)(x, y). er et par (x,y)(x, y) som passer i begge likningene samtidig.

Steg 2: Innsettingsmetoden

  1. Løs den ene likningen for én av de ukjente (her står yy alene allerede i II).
  2. Sett uttrykket inn i den andre likningen. Da får du én likning med én ukjent.
  3. Løs den, og sett svaret inn for å finne den andre ukjente.
30x+30(x+6)=900  ⇒  60x+180=900  ⇒  60x=720  ⇒  x=1230x + 30(x + 6) = 900 \;\Rightarrow\; 60x + 180 = 900 \;\Rightarrow\; 60x = 720 \;\Rightarrow\; x = 12

Da er y=12+6=18y = 12 + 6 = 18. En ispinne kostet 12 kr og en boks mineralvann 18 kr.

Steg 3: Grafisk løsning

I modellen øverst la de grønne punktene seg på en rett linje, og de oransje på en annen. Stjernen lå der linjene krysser hverandre. Det er idéen bak den grafiske metoden.

Skriv begge likningene på formen y=…y = \ldots og tegn dem. Hvert punkt på en linje passer i den ene likningen. Skjæringspunktet passer i begge.

Likning I blir y=30−xy = 30 - x, og likning II er y=x+6y = x + 6. Linjene skjærer hverandre i (12,18)(12, 18).

Modell: Modell: To linjer, ett skjæringspunkt

Likning I er 30x+30y=T30x + 30y = T (totalpris TT), og likning II er y=x+dy = x + d (mineralvann er dd kroner dyrere). Endre tallene og se hvor linjene skjærer hverandre.

51015202530354051015202530354045
I: 30x+30y=T\text{I: } 30x + 30y = TII: y=x+d\text{II: } y = x + d
Skjæringspunkt: x=12x = 12 og y=18y = 18
Sjekk: 30⋅12+30⋅18=90030 \cdot 12 + 30 \cdot 18 = 900

Prøv dette: Hva må dd være for at ispinnen og mineralvannet skal koste det samme? Hvor ligger skjæringspunktet da?

Steg 4: Prøving med et program

Et program kan prøve alle xx-verdier i et område og sjekke om begge likningene stemmer. Det er en god strategi når løsningen er et helt tall.

Modell: Program som prøver seg fram

PythonPrøv alle priser
Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Steg 5: Ingen eller uendelig mange løsninger

  • Parallelle linjer (samme stigningstall, ulikt konstantledd) skjærer aldri hverandre. Da har likningssettet ingen løsning.
  • Samme linje gir uendelig mange løsninger. Da sier de to likningene egentlig det samme.
Les mer Addisjonsmetoden

Står begge likningene på formen ax+by=cax + by = c, kan du legge dem sammen (eller trekke dem fra hverandre) slik at én ukjent forsvinner.

2x+y=10x−y=2\begin{aligned} 2x + y &= 10 \\ x - y &= 2 \end{aligned}

Legger vi sammen, forsvinner yy: 3x=123x = 12, så x=4x = 4. Innsatt i den andre: 4−y=24 - y = 2, så y=2y = 2.

Er koeffisientene ikke motsatte, kan du først gange én av likningene med et tall.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Innsetting

Løs likningssettet y=2x−6y = 2x - 6 og 4x+2y=124x + 2y = 12.

Sett inn uttrykket for yy i den andre likningen: 4x+2(2x−6)=124x + 2(2x - 6) = 12.
4x+4x−12=124x + 4x - 12 = 12 gir 8x=248x = 24, så x=3x = 3.
y=2⋅3−6=0y = 2 \cdot 3 - 6 = 0. Løsningen er x=3x = 3 og y=0y = 0.
Eksempel 2: Fra tekst

Billetter til en konsert koster 150 kr for voksne og 80 kr for barn. 40 billetter ble solgt for til sammen 4600 kr. Hvor mange voksne og barn var det?

La vv være antall voksne og bb antall barn: v+b=40v + b = 40 og 150v+80b=4600150v + 80b = 4600.
Fra den første: b=40−vb = 40 - v. Innsatt: 150v+80(40−v)=4600150v + 80(40 - v) = 4600.
150v+3200−80v=4600150v + 3200 - 80v = 4600 gir 70v=140070v = 1400, så v=20v = 20 og b=20b = 20.
Eksempel 3: Ingen løsning

Har likningssettet y=2x+1y = 2x + 1 og y=2x−3y = 2x - 3 en løsning?

Begge linjene har stigningstall 2, men ulikt konstantledd. De er parallelle.
Linjene skjærer aldri hverandre, så likningssettet har ingen løsning.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Bare å finne xx. Løsningen er et par.
  • Å glemme parentes ved innsetting. 4x+2(2x−6)4x + 2(2x - 6), ikke 4x+2⋅2x−64x + 2 \cdot 2x - 6.
  • Å bruke samme bokstav for to ulike ting. Definer de ukjente med ord først.
  • Å ikke sjekke i begge likningene.
Huskelapp

Huskelapp

  • To ukjente krever to likninger. Løsningen er et par (x,y)(x, y).
  • Innsetting: løs én for en ukjent, sett inn i den andre.
  • Grafisk: skriv som y=…y = \ldots, tegn og finn skjæringspunktet.
  • Parallelle linjer: ingen løsning.
  • Sjekk i begge likningene.
Oppgaver

Øv selv