Ulikheter · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Du har 500 kr til taxi. Turen koster 50 kr i startpris og 15 kr per km. Hvor langt kan du kjøre?

Den blå linja er prisen for turen. Den stiplede linja er pengene du har. Dra i glidebryteren.

prisen for turenpengene du har (500 kr)

Antall km10

En tur på 10 km koster 200 kr.

Du har 300 kr igjen.

Prøv dette:

Hva er den lengste turen du har råd til?
Er det bare én strekning som går? Nevn fem strekninger du har råd til.
Hvor på grafen ligger alle turene du har råd til? Hvordan ser du det?

Forklaring

Steg 1: Ulikhetstegn

Du har råd til 10 km, 20 km og 30 km, men ikke 31 km. Svaret er ikke ett tall, men alle strekninger opp til og med 30 km. Prisen skal være mindre enn eller lik 500 kr, og det skriver vi

50 + 15x \leq 500

Løsningen er $x \leq 30$ : alle tall som er mindre enn eller lik 30. En slik påstand kalles en ulikhet.

Tegn	Betyr
$x < 5$	$x$ er mindre enn 5
$x \leq 5$	$x$ er mindre enn eller lik 5
$x > 5$	$x$ er større enn 5
$x \geq 5$	$x$ er større enn eller lik 5

Løsningen av en ulikhet er alle verdier som gjør den sann. Den kan tegnes på en tallinje.

Steg 2: Løs som en likning, med ett unntak

Du kan legge til, trekke fra, gange og dele på begge sider, akkurat som med likninger:

50 + 15x \leq 500 \;\Rightarrow\; 15x \leq 450 \;\Rightarrow\; x \leq 30

Unntaket: Se på $2 < 3$ . Gang begge sider med $-1$ : Da får du $-2$ og $-3$ , og nå er $-2$ størst, fordi $-2$ ligger lenger til høyre på tallinja. Tegnet må snus: $-2 > -3$ . Ganger eller deler du med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet.

-2x + 5 > 11 \;\Rightarrow\; -2x > 6 \;\Rightarrow\; x < -3

Steg 3: Grafisk

I taxi-grafen lå alle turene du hadde råd til, der den blå linja var under den stiplede. Generelt betyr $f(x) < g(x)$ at grafen til $f$ ligger under grafen til $g$ . Tegn begge, finn skjæringspunktene, og les av for hvilke $x$ det gjelder. Grensene er skjæringspunktene.

Steg 4: Ulikheter av andre grad

$x^2 - 4 < 0$ løses enklest grafisk. Parabelen $y = x^2 - 4$ har nullpunkter i $x = -2$ og $x = 2$ , og ligger under $x$ -aksen mellom dem. Løsningen er $-2 < x < 2$ .

Modell: Modell: Hvor ligger parabelen under linja?

Parabelen er $f(x) = x^2 - 5x + 9$ og linja er $g(x) = x + c$ . Det grønne området viser hvor $f(x) < g(x)$ . Endre $c$ .

f(x) = x^2 - 5x + 9

g(x) = x + c

c

1

f(x) < g(x)

når

2 < x < 4

Prøv dette:

For $c = 1$ : Hvilke $x$ oppfyller ulikheten? Stemmer det med skjæringspunktene?
Hva skjer når $c = 0$ ? Og når $c < 0$ ? Hvor mange løsninger har ulikheten da?
Hvordan ville du lest av $f(x) > g(x)$ ?

Steg 5: Tolk i situasjonen

Ofte er ulikheten et spørsmål om «når lønner det seg?» eller «hvor mye er lov?». Svar med ord: «Du kan kjøre inntil 30 km.»

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Taxibudsjett

Du har 500 kr, og taxien koster $50 + 15x$ kr for $x$ km. Hvor langt kan du kjøre?

50 + 15x \leq 500

.

15x \leq 450

, så

x \leq 30

.

Du kan kjøre inntil 30 km.

Eksempel 2: Negativt tall

Løs $5 - 3x \geq 17$ .

Trekk fra 5:

-3x \geq 12

.

Del på

-3

og snu tegnet:

x \leq -4

.

Sjekk med

x = -5

:

5 + 15 = 20 \geq 17

. Stemmer.

Eksempel 3: Grafisk

En andregradsfunksjon $f$ og en lineær funksjon $g$ skjærer hverandre i $x = 2$ og $x = 4$ . Mellom disse ligger $f$ under $g$ . Skriv en ulikhet med denne løsningen.

f(x) < g(x)

har løsningen

2 < x < 4

.

Eksempel 4: Andre grad

Løs $x^2 \leq 9$ .

x^2 = 9

gir

x = -3

og

x = 3

.

x^2

er mindre enn 9 mellom disse. Løsningen er

-3 \leq x \leq 3

.

Vanlige feil

Å glemme å snu tegnet ved multiplikasjon eller divisjon med negative tall.
Å svare med ett tall. Løsningen er et område.
$x^2 \leq 9$ gir ikke bare $x \leq 3$ . Negative tall som $-4$ gir $16 > 9$ , så også en nedre grense trengs.
Å blande $<$ og $\leq$ . Er grensen med eller ikke?

Huskelapp

Løs som en likning, men snu tegnet når du ganger eller deler med et negativt tall.
Løsningen er et område, gjerne vist på en tallinje.
Grafisk: $f(x) < g(x)$ der $f$ ligger under $g$ . Grensene er skjæringspunktene.
Sjekk med et tall fra løsningsområdet.