Figurtall og generalisering · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Kari lager figurer av ruter. Figurene vokser etter et fast mønster. Hvor mange ruter trenger hun til figur nummer 20, uten å tegne alle figurene?

Bla gjennom figurene. De oransje rutene er nye i hver figur.

Figur nummer 3

Figur	1	2	3	4	5	6	7	8
Ruter	5	9	13	17	21	25	29	33

Figur 3 har 13 ruter. De oransje rutene er nye i denne figuren.

Hint: Én rute i midten, og fire armer som hver er

n

lange.

Prøv dette:

Hvor mange nye ruter kommer til fra én figur til den neste? Er det likt hver gang?
Hvor mange ruter har figur 10? Prøv å regne det ut uten å bla dit, og sjekk så.
Beskriv med ord hvordan du kan regne ut antall ruter i en hvilken som helst figur. Hva ser du i midten? Hva ser du i armene?
Trykk «Vis formelen» først når du har en egen regel. Ligner den på din?

Forklaring

Steg 1: Lag en tabell

Kari lager også figurer av Non Stop. Den første figuren bruker 10, den andre 14 og den tredje 18. Hun kan lage alle figurene og telle. Eller hun kan finne regelen bak mønsteret. Å gå fra noen eksempler til en regel som gjelder alle, kalles å generalisere.

Figur $n$	1	2	3	4
Antall	10	14	18	22
Økning		+4	+4	+4

Øker antallet like mye hver gang, er formelen lineær: $A(n) = 4n + b$ . Finn $b$ ved å sette inn $n = 1$ : $10 = 4 + b$ , så $b = 6$ . Formelen er $A(n) = 4n + 6$ .

Steg 2: Se strukturen i figuren

En tabell gir svaret, men figuren forklarer hvorfor. Se på krysset øverst: Det er én rute i midten og fire armer. I figur 3 er hver arm 3 lang, så det er $1 + 4 \cdot 3 = 13$ ruter. I figur 10 er det $1 + 4 \cdot 10 = 41$ . I figur $n$ er hver arm $n$ lang. Da er antallet

A(n) = 1 + 4n

Ulike elever ser ofte figuren på ulike måter og får formler som ser forskjellige ut. Med algebra kan dere sjekke at de er like.

Steg 3: Kvadratiske mønstre

Øker ikke antallet like mye hver gang, men økningen selv øker, er formelen ofte av andre grad. Se etter kvadrater og rektangler i figuren. Et kvadrat med side $n + 1$ har $(n + 1)^2$ ruter. Et rektangel på $n$ ganger $n + 1$ har $n(n + 1)$ ruter.

Modell: Et kvadratisk mønster

Figur nummer 3

Figur	1	2	3	4	5	6	7	8
Ruter	2	6	12	20	30	42	56	72

Figur 3 har 12 ruter. De oransje rutene er nye i denne figuren.

Hint: Figuren er et rektangel. Hvor bred og hvor høy er figur

n

?

Prøv dette:

Hvor mange ruter har figur 10 i hvert mønster?
I rektangelmønsteret: Hvorfor øker ikke antallet like mye hver gang?
Finn en figur i rektangelmønsteret med nøyaktig 110 ruter.

Steg 4: Bruk formelen, begge veier

Framover: Figur 20 har $A(20) = 4 \cdot 20 + 6 = 86$ .
Baklengs: Hvilken figur har 126? Løs $4n + 6 = 126$ , som gir $n = 30$ .

Modell: Sum av mange figurer

Kari skal lage de 20 første figurene med $A(n) = 4n + 6$ . Programmet legger sammen.

PythonNon Stop til 20 figurer

Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Prøv dette: Kari har 2000 Non Stop. Endre programmet så det finner hvor mange hele figurer hun kan lage.

Steg 5: Vis at noe alltid gjelder

Summen av to tall som følger etter hverandre, ser alltid ut til å bli et oddetall: $2 + 3 = 5$ , $5 + 6 = 11$ . Men eksempler er ikke bevis. Med algebra kan vi vise det for alle tall:

n + (n + 1) = 2n + 1

$2n$ er et partall (to ganger et helt tall), og et partall pluss 1 er alltid et oddetall.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Lineært mønster

Figurene har 10, 14, 18 og 22 Non Stop. Finn en formel og regn ut figur 20.

Økningen er 4 hver gang, så

A(n) = 4n + b

.

A(1) = 10

gir

4 + b = 10

, så

b = 6

.

A(n) = 4n + 6

, og

A(20) = 86

.

Eksempel 2: To måter, samme formel

En figur består av et stort kvadrat med $n \cdot n$ ruter, en søyle med $n$ ruter og en rad med $n + 1$ ruter. Finn antall ruter.

Legg sammen delene:

n^2 + n + (n + 1) = n^2 + 2n + 1

.

Flytt søylen og raden inntil kvadratet. Da blir det et kvadrat med side

n + 1

:

(n + 1)^2

.

Begge er riktige, fordi

(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1

.

Eksempel 3: Baklengs

Med $A(n) = 4n + 6$ : Hvilken figur har 126 Non Stop?

4n + 6 = 126

gir

4n = 120