Likninger

Balansemetoden, parenteser og brøker, og flere strategier å velge mellom: prøving, grafisk løsning og digitale verktøy. Sett opp likninger fra tekst.

1P2P
Fint å kunne først: Formler
Utforsk

Start her: utforsk

Tenk deg en gammeldags skålvekt. På venstre side står tre like esker og fire kuler. På høyre side står én eske og ti kuler. Vekta er i balanse. Hvor mange kuler veier én eske?

Du kan ta bort ting, men bare på en måte som holder vekta i balanse.

xxxx
Velg en operasjon. Husk: Det du gjør på den ene siden, må du gjøre på den andre.

Prøv dette:

  1. Hvorfor kan du ikke fjerne 5 kuler fra begge sider i starten? Og hvorfor må du fjerne det samme fra begge sider?
  2. Finn ut hvor mange kuler én eske veier.
  3. Start på nytt og gjør det i en annen rekkefølge. Får du samme svar?
Forklaring

Forklaring

Steg 1: Hva er en likning?

La xx stå for vekta av én eske, målt i kuler. Venstre side av vekta er da 3x+43x + 4 og høyre side x+10x + 10. At vekta er i balanse, skriver vi

3x+4=x+103x + 4 = x + 10

En likningLikningTo uttrykk med likhetstegn mellom, for eksempel 3x+4=x+103x + 4 = x + 10. Løsningen er verdien av xx som gjør påstanden sann. sier at to uttrykk er like. Løsningen er den verdien av xx som gjør påstanden sann. Du sjekker alltid ved å sette inn: 3⋅3+4=133 \cdot 3 + 4 = 13 og 3+10=133 + 10 = 13. Stemmer!

Steg 2: Balansemetoden

På vekta fjernet du ting fra begge sider til én eske stod alene. Med likningen gjør du akkurat det samme. Du kan gjøre hva du vil, så lenge du gjør det samme på begge sider:

3x+4=x+10trekk fra 4 pa˚ begge sider3x=x+6trekk fra x pa˚ begge sider2x=6del pa˚ 2 pa˚ begge siderx=3\begin{aligned} 3x + 4 &= x + 10 && \text{trekk fra 4 på begge sider} \\ 3x &= x + 6 && \text{trekk fra } x \text{ på begge sider} \\ 2x &= 6 && \text{del på 2 på begge sider} \\ x &= 3 \end{aligned}

Målet er å samle xx-leddene på én side og tallene på den andre.

Modell: Vekta med likningen

Samme vekt, men nå med likningen skrevet under. Her er en ny likning: 5x+2=2x+145x + 2 = 2x + 14. Esker er xx, kuler er 1.

xxxxxxx
5x+2=2x+145x + 2 = 2x + 14
Velg en operasjon. Husk: Det du gjør på den ene siden, må du gjøre på den andre.

Prøv dette:

  1. Skriv ned likningen etter hver operasjon. Hvordan ser du på likningen hva som skjedde på vekta?
  2. Hvilken regneoperasjon er det å «dele hver side i 3 like grupper og beholde én»?

Steg 3: Parenteser og brøker

  • Parenteser: Gang ut først. 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6.
  • Brøker: Gang alle ledd med nevneren (eller fellesnevneren), så forsvinner brøkene. x3+2=5 ganget med 3 gir x+6=15x + 6 = 15.

Steg 4: Flere strategier

Balansemetoden er ikke den eneste veien. Velg strategien som passer, og begrunn valget:

StrategiSlik gjør duPasser når
Prøving og feilingSett inn tall og se om det stemmerSvaret er et pent tall, eller for å sjekke
GrafiskTegn venstre og høyre side som to grafer, finn skjæringspunktetDu har GeoGebra, eller likningen er vanskelig å løse for hånd
CASSkriv likningen og bruk «Løs»Store eller stygge tall
ProgramLa en løkke prøve mange verdierDu vil finne når noe passerer en grense

Andregradslikninger som x2=25x^2 = 25 har ofte to løsninger: x=5x = 5 og x=−5x = -5. Grafisk ser du dem som to skjæringspunkter.

Modell: Grafisk løsning

Venstre side 3x+43x + 4 og høyre side x+10x + 10 tegnet som to grafer. Der de skjærer hverandre, er sidene like.

−6−5−4−3−2−112345678−10−5510152025
y=ax+b (venstre side)y = ax + b \text{ (venstre side)}y=cx+d (høyre side)y = cx + d \text{ (høyre side)}
Likningen 3x+4=1x+103x + 4 = 1x + 10 har løsningen x=10−(4)3−(1)=3x = \dfrac{ 10 - (4) }{ 3 - (1) } = 3

Steg 5: Likninger fra tekst

  1. Finn den ukjente, og gi den et navn: «La xx være antall uker.»
  2. Oversett teksten til en likning.
  3. Løs den.
  4. Svar med en setning, og sjekk at svaret gir mening.
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Balansemetoden

Løs 5x−7=185x - 7 = 18.

Legg til 7 på begge sider: 5x=255x = 25.
Del på 5: x=5x = 5.
Sjekk: 5⋅5−7=185 \cdot 5 - 7 = 18. Stemmer.
Eksempel 2: Parentes

Løs 2(x+3)=4x−22(x + 3) = 4x - 2.

Gang ut: 2x+6=4x−22x + 6 = 4x - 2.
Trekk fra 2x2x og legg til 2: 8=2x8 = 2x.
x=4x = 4. Sjekk: 2⋅7=142 \cdot 7 = 14 og 16−2=1416 - 2 = 14.
Eksempel 3: Brøk

Løs x3+2=5.

Gang alle ledd med 3: x+6=15x + 6 = 15.
x=9x = 9.
Eksempel 4: Fra tekst

Ada har 300 kr og sparer 50 kr i uka. Bo har 800 kr og bruker 50 kr i uka. Når har de like mye?

La xx være antall uker. Ada har 300+50x300 + 50x, Bo har 800−50x800 - 50x.
300+50x=800−50x300 + 50x = 800 - 50x gir 100x=500100x = 500, så x=5x = 5.
Etter 5 uker har begge 550 kr.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å gjøre noe bare på én side. Da er likningen ikke lenger sann.
  • Fortegnsfeil når leddet flyttes. x+7=12x + 7 = 12 gir x=12−7x = 12 - 7, ikke 12+712 + 7.
  • Å gange bare ett ledd. Når du fjerner brøker, må alle ledd ganges.
  • Å glemme å sjekke. Sett løsningen inn i den opprinnelige likningen.
Huskelapp

Huskelapp

  • Gjør det samme på begge sider.
  • Samle xx-ledd på én side og tall på den andre.
  • Parenteser: gang ut. Brøker: gang alle ledd med nevneren.
  • Andre strategier: prøving, grafisk (skjæringspunkt), CAS, program.
  • Sjekk ved å sette inn.
Oppgaver

Øv selv