Rekker i praksis: sparing og lån

Hvor mye har du spart etter ti år? Hva koster et boliglån i måneden? Geometriske rekker er matematikken bak banken.

R2
Fint å kunne først: Geometriske rekker
Utforsk

Start her: utforsk

Du setter inn 24 000 kroner på sparekontoen hvert år (2000 kr i måneden). Det første innskuddet får rente i mange år, det siste nesten ingen. Hvor mye har du etter ti år?

Den blå kurven er det som står på kontoen. Den stiplede linja er det du selv har satt inn.

510152025302505007501000125015001750200022502500årtusen kr
på kontoendet du har satt inn
Etter 10 år har du satt inn 240 tusen kr, og på kontoen står det 288,1 tusen kr.
Rentene utgjør 48,1 tusen kr.

Prøv dette:

  1. Hvor mye av sparepengene etter 10 år er renter? Etter 30 år?
  2. Dobler du renten, blir rentebeløpet da dobbelt så stort?
  3. Hvilket innskudd tjener mest rente: det første eller det siste? Hvorfor?
Forklaring

Forklaring

Sparing: sluttverdi

Se på tre innskudd på 1000 kr med 5 %5\ \% rente, satt inn ved slutten av hvert år. Etter tre år har det første innskuddet fått rente to ganger, det andre én gang og det siste ingen:

1000+1000⋅1,05+1000⋅1,052=1000+1050+1102,50=3152,501000 + 1000 \cdot 1{,}05 + 1000 \cdot 1{,}05^2 = 1000 + 1050 + 1102{,}50 = 3152{,}50

Hvert innskudd vokser eksponentielt, men med ulik tid. Summen er en geometrisk rekke med kvotient 1,051{,}05. Generelt: Setter du inn KK kroner ved slutten av hver termin med rente rr per termin, har du etter nn innskudd

S=K+K(1+r)+K(1+r)2+⋯+K(1+r)n−1=K⋅(1+r)n−1rS = K + K(1 + r) + K(1 + r)^2 + \dots + K(1 + r)^{n-1} = K \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}

Det siste innskuddet har ikke fått rente ennå, det første har fått rente i n−1n - 1 terminer.

Lån: nåverdi

Et beløp TT som betales om mm terminer, er i dag verdt T(1+r)m\frac{T}{(1 + r)^m} (nåverdien). For et annuitetslånAnnuitetslånEt lån der du betaler det samme beløpet (terminbeløpet) hver termin. Terminbeløpet finnes med summen av en geometrisk rekke. betaler du det samme terminbeløpet TT hver termin, og summen av nåverdiene skal være lånebeløpet LL:

L=T1+r+T(1+r)2+⋯+T(1+r)nL = \frac{T}{1 + r} + \frac{T}{(1 + r)^2} + \dots + \frac{T}{(1 + r)^n}

Dette er en geometrisk rekke med a1=T1+ra_1 = \frac{T}{1 + r} og k=11+rk = \frac{1}{1 + r}. Summeformelen og litt algebra gir

T=L⋅r1−(1+r)−nT = \frac{L \cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}}

Modell: Restgjelden på et lån

Kurven viser hvor mye du skylder banken år for år med et annuitetslån. Legg merke til at gjelden synker sakte i starten: Mesteparten av de første innbetalingene går til renter.

51015202530500100015002000250030003500400045005000
restgjeld\text{restgjeld}
Punktet: (15, 1643,63)(15,\ 1643{,}63)
Terminbeløp per år: T=212,9T = 212{,}9 tusen kr
Totalt betalt: 53215321 tusen kr, altså 23212321 tusen kr i renter

Modell: Regn det ut steg for steg

Programmet følger lånet år for år: Renten legges til, og terminbeløpet trekkes fra.

PythonAnnuitetslån år for år
Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Prøv dette:

  1. Hva skjer med de totale rentekostnadene hvis du halverer nedbetalingstiden?
  2. Hvor mye går til renter det første året, og hvor mye det siste?

Terminer

Er renten oppgitt per år og du betaler hver måned, bruker du r=a˚rsrente12r = \frac{\text{årsrente}}{12} og n=12⋅antall a˚rn = 12 \cdot \text{antall år}. (Bankene regner i praksis litt annerledes med effektiv rente, men prinsippet er det samme.)

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Månedlig sparing

Du sparer 2000 kr i slutten av hver måned i 10 år, med 4 % årlig rente (0,333 % per måned). Hvor mye har du?

K=2000K = 2000, r=0,0412r = \frac{0{,}04}{12} og n=120n = 120.
S=2000⋅(1+0,0412)120−10,0412≈294 500S = 2000 \cdot \dfrac{\left(1 + \frac{0{,}04}{12}\right)^{120} - 1}{\frac{0{,}04}{12}} \approx 294\,500 kr.
Du har satt inn 240 000240\,000 kr, så omtrent 54 50054\,500 kr er renter.
Eksempel 2: Boliglån

Du låner 3 millioner kroner med 5 % årlig rente og betaler månedlig i 25 år. Hva er terminbeløpet?

r=0,0512r = \frac{0{,}05}{12} og n=300n = 300.
T=3 000 000⋅0,05121−(1+0,0512)−300≈17 538T = \dfrac{3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}05}{12}}{1 - \left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{-300}} \approx 17\,538 kr per måned.
Totalt betaler du 300⋅17 538≈5,26300 \cdot 17\,538 \approx 5{,}26 millioner kroner, altså rundt 2,26 millioner i renter.
Eksempel 3: Evigvarende utbetaling

Et fond skal betale ut 100 000 kr hvert år for alltid, første gang om ett år. Med 4 % rente: Hvor mye må fondet være på i dag?

Nåverdien er 100 0001,04+100 0001,042+…\dfrac{100\,000}{1{,}04} + \dfrac{100\,000}{1{,}04^2} + \dots, en uendelig geometrisk rekke med k=11,04k = \frac{1}{1{,}04}.
S=100 000/1,041−1/1,04=100 0000,04=2 500 000S = \dfrac{100\,000/1{,}04}{1 - 1/1{,}04} = \dfrac{100\,000}{0{,}04} = 2\,500\,000 kr.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Årsrente brukt per måned. Med månedlige terminer: del renten på 12 og gang antall år med 12.
  • Feil antall rentetermer ved sparing. Det siste innskuddet får ingen rente, det første får n−1n - 1 terminer.
  • Å legge sammen innbetalinger uten å regne om til nåverdi. 100 000 kr om 20 år er ikke verdt 100 000 kr i dag.
  • (1+r)−n(1 + r)^{-n} med feil fortegn. Negativ eksponent betyr 1(1+r)n\frac{1}{(1+r)^n}.
Huskelapp

Huskelapp

  • Sparing (innskudd KK hver termin): S=K(1+r)n−1rS = K\dfrac{(1+r)^n - 1}{r}
  • Nåverdi av TT om mm terminer: T(1+r)m\dfrac{T}{(1+r)^m}
  • Annuitetslån: T=Lr1−(1+r)−nT = \dfrac{Lr}{1 - (1+r)^{-n}}
  • Evigvarende utbetaling UU: nåverdi Ur
Oppgaver

Øv selv