Omvendt proporsjonale størrelser

Utforsk

Start her: utforsk

En vennegjeng kjøper en gave til 1200 kr og deler regningen likt. Hvor mye betaler hver? Det kommer an på hvor mange dere er.

Dra punktet langs grafen, eller bruk glidebryteren. Rektangelet går fra origo til punktet: bredden er antall personer, og høyden er det hver betaler.

Gaven (kr) 1200personer 4

personer	1	2	3	4	6	8	12
kr per person	1200	600	400	300	200	150	100
personer · kr per person	1200	1200	1200	1200	1200	1200	1200

4 personer: 300 kr per person.

Ganget sammen: 4 · 300 = 1200.

Prøv dette:

Gjett først: Hva betaler hver hvis dere er 8? Dra og sjekk.
Hva skjer med beløpet per person når antallet personer dobles, fra 2 til 4 eller fra 3 til 6?
Se på rektangelet mens du drar. Hva endrer seg, og hva er alltid det samme?
Kan grafen noen gang treffe en av aksene? Hva ville det betydd?

Forklaring

Steg 1: Produktet er konstant

Er dere 2, betaler hver 600 kr. Er dere 4, betaler hver 300 kr. Er dere 6, betaler hver 200 kr. Jo flere som er med, jo mindre betaler hver. Men det er mer presist enn «jo mer, jo mindre»:

Dobler du antallet personer, halveres beløpet per person.
Antall personer ganger beløpet per person er alltid gaven: $2 \cdot 600 = 4 \cdot 300 = 6 \cdot 200 = 1200$ . Det var arealet av rektangelet.

To størrelser $x$ og $y$ er omvendt proporsjonale når produktet alltid er det samme tallet $k$ :

x \cdot y = k \qquad\Longleftrightarrow\qquad y = \frac{k}{x}

For gaven er $k = 1200$ kr. Det er det faste som deles. Typisk er det en regning, en strekning eller en jobb.

Modell: Nå med formelen

k

1200

\text{personer}

4

personer	1	2	3	4	6	8	12
kr per person	1200	600	400	300	200	150	100
personer · kr per person	1200	1200	1200	1200	1200	1200	1200

\text{kr per person} = \dfrac{1200}{\text{personer}}

. Når

\text{personer}

dobles, halveres

\text{kr per person}

.

Produktet er alltid det samme:

4 \cdot 300 = 1200

. Det er arealet av rektangelet.

Steg 2: Kjennetegn

Representasjon	Kjennetegn
Situasjon	Dobler du den ene, halveres den andre. Noe fast deles.
Tabell	$x \cdot y$ er det samme for alle par.
Graf	En hyperbel: synker bratt, så slakere, og treffer aldri aksene.
Formel	$y = \dfrac{k}{x}$

Grafen treffer aldri $y$ -aksen, fordi man ikke kan dele på 0. Den treffer heller aldri $x$ -aksen, fordi kx aldri blir 0.

Steg 3: Ikke alt som synker, er omvendt proporsjonalt

Du har 100 kr og kjøper is til 10 kr stykket. Pengene du har igjen er $y = 100 - 10x$ . Når $x$ øker, minker $y$ . Men produktet $x \cdot y$ er ikke konstant: $1 \cdot 90 = 90$ og $2 \cdot 80 = 160$ . Dette er en lineær nedgang, ikke omvendt proporsjonalitet.

Steg 4: Premisser

Tre malere bruker 8 timer på et hus. Hvor lenge bruker 4 malere? Jobben er $3 \cdot 8 = 24$ «malertimer», så 4 malere bruker 244=6 timer.

Men svaret bygger på premisser (antakelser): at alle jobber like fort, og at de ikke går i veien for hverandre. Med 24 malere på samme hus ville modellen gitt 1 time. Det er neppe realistisk. En modell gjelder bare så lenge premissene holder.

Proporsjonal eller omvendt proporsjonal?

	Proporsjonal	Omvendt proporsjonal
Konstant	$\dfrac{y}{x} = k$	$x \cdot y = k$
Formel	$y = kx$	$y = \dfrac{k}{x}$
Dobler $x$	$y$ dobles	$y$ halveres
Graf	rett linje gjennom origo	hyperbel

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Dele en regning

En gave koster 2200 kr og deles likt. Lag en formel for hvor mye hver betaler.

Det faste som deles, er 2200 kr. Er

x

antall personer, betaler hver

y = \dfrac{2200}{x}

kr.

Med 4 personer: 22004=550 kr hver.

Eksempel 2: Fart og tid

Du skal kjøre 120 km. Hvor lang tid tar det med 60 km/h og med 80 km/h?

Strekning = fart · tid, så tid

= \dfrac{120}{\text{fart}}

. Fart og tid er omvendt proporsjonale.

60 km/h: 12060=2 timer. 80 km/h: 12080=1,5 timer.

Eksempel 3: Er tabellen omvendt proporsjonal?

Undersøk to tabeller. Tabell A: $x$ = 2, 3, 6 og $y$ = 9, 6, 3. Tabell B: $x$ = 1, 2, 3 og $y$ = 10, 8, 6.

A:

2 \cdot 9 = 18

,

3 \cdot 6 = 18

og

6 \cdot 3 = 18

. Produktet er konstant, så A er omvendt proporsjonal.

B:

1 \cdot 10 = 10

og

2 \cdot 8 = 16

. Produktet endrer seg. B er ikke omvendt proporsjonal, selv om

y

minker.

Eksempel 4: Malerne

3 malere bruker 8 timer på et hus. Hvor lang tid bruker 4 malere?

Jobben er

3 \cdot 8 = 24

malertimer.

4 malere: 244=6 timer.

Premiss: Alle malerne jobber like fort og uten å hindre hverandre.

Vanlige feil

«Den ene øker, den andre minker» er ikke nok. Sjekk produktet.
Å bruke $y = kx$ . Omvendt proporsjonalitet er $y = \frac{k}{x}$ . Ganger du i stedet for å dele, får du motsatt oppførsel.
Å glemme premissene. Omvendt proporsjonalitet i arbeid forutsetter at alle jobber like fort og ikke hindrer hverandre.
Å tro grafen treffer aksene. kx blir aldri 0, og $x = 0$ er ikke tillatt.

Huskelapp

Omvendt proporsjonale: $x \cdot y = k$ , altså $y = \dfrac{k}{x}$ .
Dobler du $x$ , halveres $y$ .
$k$ er det faste som deles (regning, strekning, jobb).
Grafen er en hyperbel som aldri treffer aksene.
Sjekk premissene før du bruker modellen.