Proporsjonale størrelser · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Poteter i løsvekt koster 20 kr per kilo. En taxi koster 50 kr i startpris og 15 kr per kilometer. Hva skjer med prisen hvis du kjøper dobbelt så mye, eller kjører dobbelt så langt?

Dra i glidebryteren. Punktene viser prisen for en mengde og for dobbelt så mye.

poteter (kr for

x

kg)taxi (kr for

x

km)

Mengde2

Poteter: 2 kg koster 40 kr, og 4 kg koster 80 kr.

Taxi: 2 km koster 80 kr, og 4 km koster 110 kr.

Prøv dette:

Blir potetene dobbelt så dyre når du kjøper dobbelt så mye? Sjekk for flere mengder.
Blir taxituren dobbelt så dyr når du kjører dobbelt så langt? Hvorfor ikke?
Sett mengden til 0. Hva koster 0 kg poteter? Hva koster en taxitur på 0 km?
Regn ut pris delt på mengde for potetene, for eksempel 402 og 1005. Hva legger du merke til?

Forklaring

Steg 1: Forhold og «per»

Koster 3 kg epler 87 kr, hva koster da 1 kg? Del prisen på antall kg: 873=29 kr per kg. Da koster 5 kg $5 \cdot 29 = 145$ kr. Å finne prisen for én enhet kalles enhetspris eller «veien om 1».

«29 kr per kg» er et forhold: Det sammenligner to størrelser ved å dele den ene på den andre. Ordet per betyr «delt på»:

\text{pris per kg} = \frac{\text{pris}}{\text{antall kg}}

Steg 2: Proporsjonale størrelser

Se på potetene i en tabell:

kg	0	1	2	5
kr	0	20	40	100
kr per kg	–	20	20	20

Uansett hvor mye du kjøper, er prisen delt på vekten den samme: 20 kr per kg. Prisen og vekten vokser i takt. Dobler du mengden, dobles prisen, og 0 kg koster 0 kr.

To størrelser $x$ og $y$ er proporsjonale når forholdet mellom dem alltid er det samme tallet $k$ :

\frac{y}{x} = k \qquad\Longleftrightarrow\qquad y = k \cdot x

Tallet $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten. Det er «per 1»: hvor mye $y$ du får for hver enhet $x$ . For potetene er $k = 20$ kr per kg.

Modell: Linja gjennom origo

Dra punktet langs linja og følg med på tabellen. Den oransje streken viser $k$ : hvor mye $y$ øker når $x$ øker med 1.

k

20

\text{kg}

3

kg	1	2	3	4	5	6
kr	20	40	60	80	100	120
kr / kg	20	20	20	20	20	20

\text{kr} = 20 \cdot \text{kg}

. Når

\text{kg}

dobles, dobles

\text{kr}

.

Forholdet er alltid det samme: 603=20. Grafen er en rett linje gjennom origo.

Prøv dette:

Endre $k$ . Hva skjer med linja? Hva skjer med den nederste raden i tabellen?
Sett $x$ til 0. Hvor er punktet? Hvorfor må det være der?
Hvor mye koster $2{,}5$ kg? Finn svaret på to måter: med grafen og med $k$ .

Steg 3: Tre måter å kjenne dem igjen på

Representasjon	Kjennetegn
Situasjon	0 gir 0, og dobler du den ene, dobles den andre.
Tabell	yx er det samme for alle par.
Graf	En rett linje gjennom origo.
Formel	$y = kx$ , uten konstantledd.

Steg 4: Når er det ikke proporsjonalt?

Fast ledd. Taxien: $y = 15x + 50$ . Grafen er en rett linje, men den går ikke gjennom origo. For 0 km betaler du 50 kr.
Ikke rett linje. Arealet av et kvadrat, $A = s^2$ , vokser raskere enn siden. Dobler du siden, blir arealet fire ganger så stort.

Modell: Proporsjonal eller ikke?

Her er $y = ax + b$ . Endre $a$ og $b$ . Når er sammenhengen proporsjonal?

y = ax + b

a

15

b

50

Når

x

dobles fra 2 til 4, går

y

fra

80

til

110

.

Forholdet yx er

40

og

27{,}5

. Proporsjonalt bare når de er like, altså når

b = 0

.

Steg 5: Regne med proporsjonalitet

Er to størrelser proporsjonale, holder det å kjenne ett par for å finne $k$ . En oppskrift for 4 personer bruker 300 g mel. Mel og antall personer er proporsjonale, med $k = \frac{300}{4} = 75$ g per person. For 10 personer trenger du $10 \cdot 75 = 750$ g.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Enhetspris

3 kg epler koster 87 kr. Hva koster 5 kg?

Veien om 1: 873=29 kr per kg.

5 \cdot 29 = 145

kr.

Eksempel 2: Er tabellen proporsjonal?

Er lønn og antall timer proporsjonale?

Timer	2	4	5	8
Lønn (kr)	360	720	900	1440

Regn ut lønn delt på timer: 3602=180, 7204=180, 9005=180 og 14408=180.

Forholdet er det samme hele veien, så lønn og timer er proporsjonale med

k = 180

kr per time.

Formelen er

L = 180t

.

Eksempel 3: Taxien

En taxi koster 50 kr i startpris og 15 kr per km. Er prisen proporsjonal med antall km?

Formelen er

P = 15x + 50

.

For 2 km: 80 kr. For 4 km: 110 kr. Doblet strekning gir ikke doblet pris.

Nei. Grafen er en rett linje, men den går ikke gjennom origo.

Eksempel 4: Lag ditt eget eksempel

Gi et eksempel på to størrelser som er proporsjonale, og begrunn hvorfor.

Prisen for bensin og antall liter du fyller. Koster bensinen 22 kr per liter, er prisen

P = 22x

.

Fyller du 0 liter, betaler du 0 kr. Fyller du dobbelt så mye, betaler du dobbelt så mye. Prisen per liter er alltid 22 kr.

Vanlige feil

Rett linje, men ikke gjennom origo. Fast ledd gjør at størrelsene ikke er proporsjonale.
Å dele feil vei. Kilopris er kroner delt på kilo, ikke kilo delt på kroner. Sjekk enheten: kr/kg.
Å glemme enheten på $k$ . $k = 180$ betyr ingenting alene. $k = 180$ kr per time sier alt.
«Jo mer, jo mer» er ikke nok. Arealet av et kvadrat øker når siden øker, men det er ikke proporsjonalt.

Huskelapp

Proporsjonale: $\dfrac{y}{x} = k$ , altså $y = kx$ .
$k$ er «per 1», for eksempel kr per kg.
Kjennetegn: 0 gir 0, dobling gir dobling, rett linje gjennom origo.
Enhetspris: del på antall, gang så opp.