Sammensatte måleenheter · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

En sprinter løper 100 meter på 10 sekunder. En bil kjører gjennom et boligfelt i 30 km/h. Hvem er raskest?

Det er vanskelig å sammenligne når farten er målt på to ulike måter. Grafen viser hvor langt sprinteren og bilen kommer sekund for sekund.

sprinterenbilen i 30 km/h

Sprinterens meter per sekund10

Sprinteren: 10 m på 1 sekund, 600 m på 1 minutt og 36000 m på 1 time (hvis hun orket).

Bilen: 30 km = 30 000 m på 1 time = 3600 sekunder, altså 8,33 m på 1 sekund.

Prøv dette:

Gjett først: Hvem er raskest, sprinteren eller bilen? Se hvilken linje som er brattest.
Hvor mange kilometer ville sprinteren løpt på én time? Hvor mange km/h er det?
Finn den farten der sprinteren og bilen er like raske. Hvilket tall må du dele 30 på for å få den?

Forklaring

Steg 1: «Per» betyr «delt på»

Sprinteren løp 100 meter på 10 sekunder, altså $\frac{100\ \text{m}}{10\ \text{s}} = 10$ meter per sekund, skrevet $10$ m/s. Bilen kjørte 30 kilometer per time, $30$ km/h. Begge er fart, men målt med ulike enheter. Ordet «per» betyr «delt på».

Enheter som m/s, km/h, kr/kg og kr/m² kalles sammensatte måleenheter. De er to enheter delt på (eller ganget med) hverandre:

Størrelse	Enhet	Betyr
Fart	km/h, m/s	strekning delt på tid
Kilopris	kr/kg	pris delt på masse
Pris per areal	kr/m²	pris delt på areal
Tetthet	g/cm³, kg/m³	masse delt på volum
Dosering	mg/kg	medisin per kilo kroppsvekt
Forbruk	L/mil	liter drivstoff per mil
Energi	kWh	effekt ganget med tid

Steg 2: Én sammenheng, tre formler

Sprinteren løper 10 m hvert sekund. På 3 sekunder blir det $10 \cdot 3 = 30$ m. Skal hun løpe 100 m, tar det 10010=10 s. Fart, strekning og tid henger altså sammen i én formel, som kan skrives på tre måter:

\text{fart} = \frac{\text{strekning}}{\text{tid}} \qquad \text{strekning} = \text{fart} \cdot \text{tid} \qquad \text{tid} = \frac{\text{strekning}}{\text{fart}}

Samme mønster gjelder pris og kilopris: $\text{pris} = \text{kilopris} \cdot \text{antall kg}$ . Enheten hjelper deg: km/h ganget med h gir km.

Steg 3: Gjør om med enhetsbrøker

I grafen øverst fant du at 10 m/s blir $36\,000$ m $= 36$ km på én time, altså 36 km/h. Sprinteren er raskere enn bilen! Vi ganget med 3600 (sekunder per time) og delte på 1000 (meter per km). Det kan vi gjøre systematisk med enhetsbrøker.

Brøken $\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}$ er lik 1, fordi teller og nevner er like store. Å gange med 1 endrer ikke størrelsen, bare enheten:

72\ \frac{\text{km}}{\text{h}} = 72\ \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} \cdot \frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}} = \frac{72 \cdot 1000}{3600}\ \frac{\text{m}}{\text{s}} = 20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}

Siden 10003600=13,6, får vi en snarvei: km/h til m/s: del på 3,6. m/s til km/h: gang med 3,6.

Modell: Modell: Enhetsbrøker

Velg en omregning og endre verdien. Se hvordan enhetene stryker hverandre.

72\ \dfrac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{h}}} \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{1\,\cancel{\text{km}}} \cdot \dfrac{1\,\cancel{\text{h}}}{3600\,\text{s}} = 20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}

Verdi 72

Hver brøk i midten er lik 1 (for eksempel er 1000 m det samme som 1 km). Å gange med 1 endrer ikke størrelsen, bare enheten. Enhetene som står både over og under brøkstreken, stryker hverandre.

Prøv dette:

Hvor fort er 100 km/h i m/s? Hvor langt kjører du på ett sekund?
Løpere oppgir ofte tempo i minutter per kilometer. Hvor mange km/h er 5 min/km?
Hvorfor ganger vi med $\frac{1\ \text{kg}}{10\ \text{hg}}$ når vi gjør om kr/kg til kr/hg, og ikke med $\frac{10\ \text{hg}}{1\ \text{kg}}$ ?

Steg 4: Tetthet og dosering

Tetthet er masse per volum: $\rho = \frac{m}{V}$ . Vann har tetthet $1\ \text{g/cm}^3 = 1\ \text{kg/L}$ . Stål har rundt $7{,}9\ \text{g/cm}^3$ , så en stålterning på $1\ \text{dm}^3$ veier $7{,}9$ kg.

Dosering oppgis ofte per kilo kroppsvekt. Står det 15 mg/kg, og barnet veier 22 kg, er dosen $15 \cdot 22 = 330$ mg.

Steg 5: Kilowattimer

En kilowattime (kWh) er energien du bruker når noe med effekt 1 kW står på i 1 time. Energi er effekt ganget med tid:

\text{energi (kWh)} = \text{effekt (kW)} \cdot \text{tid (h)}

En panelovn på 2000 W = 2 kW som står på i 5 timer, bruker $2 \cdot 5 = 10$ kWh. Koster strømmen 1,20 kr/kWh, koster det 12 kr.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Fra km/h til m/s

En løper holder 25,89 km/h. Hvor mange meter per sekund er det?

Del på 3,6: 25,893,6≈7,19 m/s.

Løperen kommer omtrent 7 meter fram hvert sekund.

Eksempel 2: Rundetid

Jakob løp 1500 m på 3 min 27,14 s på en 400-metersbane. Hvor lang tid brukte han i snitt per runde?

Tid i sekunder:

180 + 27{,}14 = 207{,}14

s.

Antall runder: 1500400=3,75.

Tid per runde: 207,143,75≈55,24 s.

Eksempel 3: Terrassebord

Terrassebord som er 145 mm brede, koster 67,90 kr per meter. Hva koster bordene per kvadratmeter terrasse?

En kvadratmeter er 1 m × 1 m. I bredden trenger du

\dfrac{1000\ \text{mm}}{145\ \text{mm}} \approx 6{,}9

bord.

Det er

6{,}9

meter bord per kvadratmeter.

Pris per kvadratmeter: 1000145·67,90≈468 kr/m².

Eksempel 4: Strømkostnad

En panelovn på 2000 W står på i 5 timer. Strømmen koster 1,20 kr/kWh. Hva koster det?

Effekt:

2000

W

= 2

kW.

Energi:

2\ \text{kW} \cdot 5\ \text{h} = 10

kWh.

Pris:

10 \cdot 1{,}20 = 12

kr.

Vanlige feil

Gange i stedet for å dele med 3,6. Tallet i m/s er alltid mindre enn i km/h.
Tid i feil enhet. $3$ min $27$ s er $207$ s, ikke $3{,}27$ min.
W og kW. $2000$ W er $2$ kW. Regner du med 2000, blir strømprisen tusen ganger for høy.
Å glemme at «per» betyr delt på. Kilopris er kroner delt på kilo. Pris for flere kilo: gang kiloprisen med antall kilo.

Huskelapp

«Per» betyr delt på.
Fart $= \dfrac{\text{strekning}}{\text{tid}}$ . Strekning $=$ fart $\cdot$ tid.
km/h til m/s: del på 3,6. m/s til km/h: gang med 3,6.
Enhetsbrøker er lik 1. Gang med dem, og stryk like enheter.
Tetthet $= \dfrac{\text{masse}}{\text{volum}}$ . Energi (kWh) $=$ effekt (kW) $\cdot$ tid (h).